Question

نشان دهید که دو تابع $f(x)=2(2 ^x-3)$ و $g(x)=2^{2x-1}-4$ بر هم مماس اند.

پاسخ این سوال اینگونه است که

$2^{x+1} -6= 2^{2x-1}-4 \Longrightarrow (2^x)^2 \times \frac{1}{2} -2^x \times 2 +2 =0$

در اینجا تغییر متغیر داده شده و $2^x=t$

$t^2-4t+4=0$

پس این معادله یک ریشه دارد. در نتیجه این دو نمودار بر هم مماس اند.

اما من نمی فهمم چرا میشه همچین نتیجه ای گرفت. چرا نمیشه بگیم که دو نمودار همدیگر را قطع می کنند؟

Answer 1

به نام خدا.

متن زیر از کتاب روش های جبر نوشته پرویز شهریاری جلد دوم صفحه$428$ گرفته شده است:

« از هندسه می دانیم که اگر خطی مثل $AB_1$، منحنی $(C)$ را در دو نقطه$A$ و $B_1$ قطع کند(شکل $184$)، وقتی که نقطه $B_1$ روی منحنی $C$ به طرف

نقطه $A$ میل کند، خط $AB_1$ به طرف مماس $d$ میل خواهد کرد. بنابراین خط مماس بر منحنی را می توان خط قاطعی دانست که دو نقطه برخورد آن با منحنی بر هم منطبق شده باشد.

منحنی $C$ و نقطه $M$ را در نظر میگیریم(شکل $185$). خطی که از نقطه$M$ عبور کند، ممکن است منحنی را مثلا در دو نقطه$A$ و $B$ قطع کند، اگر معادله منحنی $C$ را با معادله خطی که از نقطه$M$ می گذرد، به عنوان یک دستگاه دو معادله دو مجهولی در نظر بگیریم، با حذف یکی از مجهولهای $x,y$ بین آنها، در وضع مفروض به یک معادله درجه دوم می رسیم که در حالت اول دو ریشه حقیقی، در حالت دوم دو ریشه مساوی( یک ریشه مضاعف) و در حالت سوم دو ریشه موهومی دارد.

بنابراین می توان گفت: یک خط وقتی بر منحنی مماس است که از حل معادله ی آن با معادله ی منحنی، به معادله‌ای برسیم که یک ریشه مضاعف داشته باشد.

شبیه همین تعریف را در مورد دو منحنی مماس بر یکدیگر هم، می توان قبول کرد: دو منحنی وقتی بر هم مماس اند که از حل معادله های آنها با هم( مثل دو معادله دو مجهولی)، به معادله ای برسیم که یک ریشه مضاعف داشته باشد.»

Answer 2

مماس بودن حالتی از متقاطع بودن است.دو نمودار در نقطه $a$ متقاطع اند هرگاه داشته باشیم$$f(a)=g(a)$$ یعنی دو معادله دارای نقطه برخورد باشند که در نمودار بالا نشان داده شد که دو معادله دارای جواب اند. پس تا اینجا شرط متقاطع بودن برقرار است. و اگر دو نمودار در نقطه برخورد شان مماس هم باشند پس دارای مماس مشترک هستند یعنی $$f'(a)=g'(a)$$ معادله درج دوم حد اکثر دارای دوریشه است . و ریشه مضاعف به معنای مماس بودن دو نمودار است.

Comments

ممنون از توجهتون.  ولی من هنوز نمی فهمم چرا از اینکه معادله درجه دو فقط یک ریشه داره میشه فهمید که دو نمودار مماس اند.

---

@pk123 معادله درجه دو حداکثر دارای دو ریشه است.دوریشه داشتن به معنای قطع کردن محور در دو نقطه است. مماس با محور بودن یعنی یک نقطه قطع می کند و عدم برخورد با محور به معنای عدم جواب است. وقتی شما معادله را برابر هم قرار  دادید حالت مماس با محور تداعی می کند.

---

من می دانم که معادله درجه دو اگر یک ریشه داشته باشد انگاه بر محور ایکس ها مماس است. ولی این رو نمی فهمم که چه ارتباطی به دو نمودار توابع بالا دارد.

---

@pk123 اگر به پاسخ دقت کرده باشید منوجه می شدید.وقتی دو نمودار را برابر قرار می دهید یعنی مقدار دوتابع در یک‌ نقطه ای باهم برابرندنه دونقطه یا بیشتر. ازطرفی در آن نقطه از هم عبور نمی کنند ومماس هستند.مساوی قرار دادن دوتابع یعنی برابر بودن $y$های دوتابع. دوتابع را وقتی مساوی قرار می دهید مشخص می شود که در چند نقطه باهم برخورد دارند