یافتن خروج از مرکز بیضی که فاصله یک سر قطر بزرگ از یک سر قطر کوچکش برابر مجموع نصف فاصله دو کانون و نصف قطر بزرگ آن باشد

Question

خروج از مرکز بیضی که فاصله یک سر قطر بزرگ از یک سر قطر کوچکش برابر مجموع نصف فاصله دو کانون و نصف قطر بزرگ آن باشد ، را بیابید خب تلاش خودم : فاصله یک سر قطر بزرگ تا کوچیک که میشه (sqrt(a^2+b^2 مجموع نصف فاصله دو کانون و نصف قطر بزرگ هم که میشه a+c اینارو مساوی گذاشتم به توان ۲ رسوندم ولی چیزی دستگیرم نشد اگه میشه این روش منو راهنمایی کنید دوستان یا اگه راه دیگه ای هم بود که حله .ممنون

Answer 1

$$OA=a , OB=b , OF=c , a^2=b^2+c^2$$

با توجه به فرض $$AB=a+c$$ و باتوجه به رابطه فیثاغورس $ AB^{2}=a^2+b^2 $ با جانشینی $AB$ ازبالا:

$$ (a+c)^{2}=a^2+b^2 $$

به جای $b^2$ مساوی آن را جایگزین کنید و با ساده کردن مرتب کنید:

$$2c^2+2ac-a^2=0 \Rightarrow c= \frac{ \sqrt{3}-1 }{2}a \Rightarrow \color{red}{\frac{c}{a}=\frac{ \sqrt{3}-1 }{2}} $$