آیا می توان اتحاد $(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2$ را با استدلالی هندسی ثابت کرد؟

Question

چگونه اتحاد لاگرانژ که در زیر آمده‌است را به روش هندسی اثبات کنم.

$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2$$

Comments

@Taha1381
@Alireza Zamani
 این اتحاد دیافانت یا لاگرانژ را است. (البته در واقع دانشمندی به نام دیافانت 15 قرن پیش از دانشمندی به نام لاگرانژ به این اتحاد دست یافته بود)
و اینکه این خیلی برای ما مهم نیست این اتحاد چه شخصی است . چیزی که مهه اینه این یک اتحاد است و  اثبات آنرا میخواهیم بدست آوریم .
و در آخر :
هر شخصی در هر سطحی قابل احترام است . پس رعایت ادب را داشته باشید.

---

مرا ببخشید من اصلا قصد توهین نداشتم اگر هم حرف های من شما را ناراحت کرده از شما کمال پوزش را می طلبم.

---

@Taha1381
اصلا لازم نیست معذرت خواهی کنید. شما نظرتونو گفتین
آقای Alireza Zamani ما اصلا همچین روحیه ای رو نمیپسندیم! کاربران آزادن نظراتشونو در رابطه با سوال بگن. حتی ممکنه اینجا پاسخ اشتباه به سوالی داده بشه.
نظرات بالا پاک میشن.
با تشکر.

---

@admin
@Taha1381
من قبول میکنم که بد حرف زدم ، از Taha1381 و بقیه کاربران عذر میخوام و پوزش میطلبم.
ولی باید به این نکته هم توجه کرد که باید قبل از نظر دادن درباره موضوعی باید اطلاعات کافی داشته باشیم و پس از تفکر حرف بزنیم.جناب Taha1381 آن چنان فرمودند که اتحاد موردنظر ، اتحاد لاگرانژ است و اصلا هیچ شباهتی به اتحاد دیوفانت ندارد.به خاطر این نظر دادن زود ایشان من هم آرامش خودم رو از دست دادم و زود و اشتباه نظر دادم. این روحیه من ناپسند بوده و من به خاطر زود حرف زدنم و روحیه ناپسندم مغذرت میخوام.

---

@asal4567 و @AmirHosein با درود به دانش پژوهان و دوستداران ریاضی. در حال مطالعه سؤالات سایت بودم که به این سؤال بعنوان سؤال مشابه برخوردم که بی جواب مانده. برای کمک به حل این مسئله لینک پایین میتواند مفید واقع شود. حل این مسئله با کمک بردارها و هندسه مختلط در لینک پایین قابل توجه است. اساتید محترم با تأیید و ترجمه آن میتوانند کمک بزرگی به حل این مسئله نمایند.
https://www.quora.com/How-can-I-prove-that-a-2%2Bb-2-c-2%2Bd-2-ad-bc-2-%2B-ac%2Bbd-2

Answer 1

اثبات شهودی اتحاد لاگرانژ $$ (a^2 +b^2) (c^2 +d ^2) = (ac+bd) ^2 +(ad-bc) ^2 $$

با جابجا کردن تبدیل به دو مربع به ابعاد مورد نظر به جواب مسئله می رسیم: