تعداد حالتهای قرار دادن ۸ کتاب مختلف در ۶جعبه یکسان ک حداقل در هر جعبه یک کتاب باشد

Question

به چند حالت میتوان ۸کتاب مختلف را در ۶ جعبه یکسان قرار داد بطوریکه در هر جعبه حداقل یک کتاب وجود داشته باشد. ۱)۱۲۷ ۲)۲۶۶ ۳)۳۰۱ ۴)۲۱×!۸

Comments

@alineysi به عنوان کاربری که ۵ سال در اینجا عضو است انتظار می‌رود به سایت آشنا باشید و در متن پرسش به تلاش و یا ابهام و ایهام‌تان نیز اشاره کنید.

Answer 1

در حالت اول در یکی از جعبه ها می بایست $3$ کتاب باشد. از آنجا که جعبه ها یکسان می باشند پس تفاوتی ندارد که کدام جعبه باشد یعنی $ \binom{8}{3}$ حالت وجود دارد که یک جعبه سه کتاب داشته باشد . در حالت دوم می بایست در دو جعبه دو کتاب باشد. که به $ \binom{8}{2} × \binom{6}{2} × \frac{1}{2} $ حالت امکان پذیر است. پس پاسخ می شود:

$ \binom{8}{3} + \binom{8}{2} × \binom{6}{2} × \frac{1}{2} = 56 + 210 = 266 $

البته برای راحتی کار می توانستیم از فرمول اعداد استرلینگ نوع دوم استفاده کنیم و راحت تر به جواب برسیم.

با تشکر از آقای دکتر @AmirHosein بابت نکته ای که بیان کردند.

Comments

@Elyas1 حالتِ $x_1=3$ و سایر جعبه‌ها دارای یک کتاب را در نظر بگیرید، این یکی از ۲۱ حالت پخش‌کردنِ ۸ کتاب در ۶ جعبه است که هیچ جعبه خالی نماند که در قسمت نخست پاسخ‌تان یافتید. اکنون $8!$ که ضرب کردید یعنی سه کتاب داخل جعبهٔ نخست را هم ترتیب می‌دهید ولی آیا مهم است که کتاب ریاضی و شیمی و آمار به چه ترتیبی در جعبهٔ نخست قرار بگیرند؟

---

@AmirHosein و @alineysi پاسخ را ویرایش کردم. لطفاً باری دیگر آن را مطالعه فرمایید.