این پاسخ دیگر درست است
فرض کنید تعداد راه های قرار دادن ۱۵ کلاه روی $n$ صندلی به شرط اینکه هیچ صندلی خالی نباشد $a_{n} $ باشد.حال میتوان $ a_{n} $ را به صورت زیر با استفاده از اصل متمم و رابطه ی بازگشتی حساب کرد:
-تعداد کل حالات قرار دادن $n$ کلاه برابر است با $ n^{15} $
-تعداد حالاتی که دقیقا یک صندلی خالی بماند برابر است با $ \binom{n}{1} a_{n-1} $. به این دلیل که باید ابتدا یک صندلی خالی انتخاب کرد و سپس 15 کلاه را روی بقیه ی صندلی ها قرار داد که برابر است با $ a_{n-1} $
-تعداد حالاتی که دقیقا دو صندلی خالی باشد برابر است با $ \binom{n}{2} a_{n-2} $ که استدلال مشابه قبلی است.
-.....
-
-
-
-تعداد حالاتی که دقیقا $n-1$ صندلی خالی باشد برابر است با $ \binom{n}{n-1} a_{1} $
پس $ a_{n} $ برابر است با:
$$ n^{15} -( \binom{n}{1} a_{n-1} + \binom{n}{2} a_{n-2} +...+ \binom{n}{n-1} a_{1} )$$
میتوان با استفاده از استقرا و رابطه ی بالا و کمی ساده کردن به این نتیجه رسید که:
$$ a_{n} = \binom{n}{0} n^{15} - \binom{n}{1} (n-1)^{15} + \binom{n}{2} (n-2)^{15} - ... + (-1)^{n+1} \binom{n}{n-1} 1^{15} $$
پس $ a_{6} $ که جواب سوال است برابر است با:
$$ \binom{6}{0} 6^{15} - \binom{6}{1} 5^{15} + \binom{6}{2} 4^{15} - \binom{6}{3} 3^{15} + \binom{6}{4} 2^{15} - \binom{6}{5} 1^{15} $$
