اشتباه شما اینجاست که جمع دو بردار را اشتباه متوجه شده‌اید. جمع دو بردار یک بردار می‌شود، در حالیکه چیزی که شما با خط‌کش در حال امتحان کردنش هستید جمع اندازهٔ دو بردار است که یک عدد می‌شود.
بیایید مو به مو تمام جزئیات را مرور کنیم. یک عدد به شکل یک عددِ تنها است مانند ۲، ولی یک بردار در صفحه یک عدد نیست!
$$\text{ بردار }\neq\text{ عدد }$$
یک بردار در صفحه یک زوجِ مرتب، یا به عبارتی، یک دوتاییِ مرتب از دو عدد است. مانند $(1,2)$. در صفحه شما عددها را نمایش نمی‌هید، بلکه بردارها را نمایش می‌دهید. عدد ۲ عضوی از مجموعهٔ بردارهای صفحه نیست ولی بردار $(1,2)$ که یک پیکان با شروع از مبدأ مختصات به نقطهٔ با طولِ ۱ و عرضِ ۲ است، عضوی از مجموعهٔ بردارهای صفحه است. بردارِ $(1,2)$ با عددی که درازایِ این بردار را نشان می‌دهد هم‌معنا نیست. بردارِ $(1,2)$ دارایِ درازایِ $\sqrt{5}$ است و آشکارا $\sqrt{5}\neq (1,2)$ چون یکی یک عدد است و دیگری یک بردار در صفحه. پس جملهٔ «بردارِ $(1,2)$ برابر با عددِ $\sqrt{5}$ است» جمله‌ای نادرست است، جملهٔ درست این است که «درازایِ بردارِ $(1,2)$ برابر با عددِ $\sqrt{5}$ است». درست گفتن مفهوم‌ها خیلی مهم هستند چون به طور مستقیم در نحوهٔ فکر کردن‌تان پیرامون مفهوم‌ها نقش ایفا می‌کند.
اکنون به جمع دو بردار بپردازیم. ۱۰۰٪ جمعِ دوبردارِ $(1,2)$ و $(5,1)$ با جمعِ عددهایِ درازاهایشان تعریف نمی‌شود! چرا؟ چون درازایِ آنها عدد هستند و ما در حال صحبت از بردارها هستیم، جمعِ دو بردار را می‌خواهیم یک بردار تعریف کنیم. این تعریف را چگونه انجام دادند؟ به یاد دارید که بردارِ $(1,2)$ را می‌توانستید این‌گونه تعبیر کنید که ۲ واحد به سمت راست و سپس یک واحد به سمت بالا؟ و همینطور بردارِ $(5,1)$، ۵ واحد به سمت راست و سپس ۱ واحد به سمت بالا؟ خب طبیعی‌ترین چیزی که الآن باید به ذهن‌تان رسیده باشد چیست؟ اینکه وقتی این دو عمل را انجام بدهید آیا به این معنا نیست که در کل $1+5=6$ واحد به سمت راست و $2+1=3$ واحد به سمت بالا می‌روید؟ به شکل زیر نگاه کنید. بردار آبی‌رنگ بردارِ $(1,2)$ است با شروع از مبدأ و بردار قرمزرنگ بردار $(5,1)$ است که شروع آن را بدون تغییر دادنِ خودِ بردار حرکت دادیم و به انتهای بردارِ نخست برده‌ایم. توجه کنید جهت و راستا و خودِ بردار تغییر نکرده‌است! و بردارهای سبزرنگ در واقع تعبیرِ حرکت‌های افقی و عمودی‌شان هستند. این چیزی هست که جمع دو بردار محسوب می‌شود.
حاصل چه باید بشود؟ آیا چیزی غیر از بردارِ زردرنگ شکل زیر است که ۶ واحد به سمت راست و ۳ واحد به سمت بالا رفته‌است؟
همان‌طور که می‌بینید جمع دو بردار یک بردار می‌شود که مؤلفهٔ اولش جمع مؤلفهٔ اول دو بردار، و مؤلفهٔ دومش جمع مؤلفهٔ دوم آنها است و با توجه به درازایِ آنها تعریف نشده‌است! هیچ جا هم ادعا نشده است که درازایِ جمعِ دو بردار باید برابر با جمعِ درازای دو بردار اولیه شود! چیزی که در واقع شما در حال تست کردنش با خط کش هستید. شما در حال فکر کردن به این هستنید که درازای بردار نخست $\sqrt{5}$ است و درازای بردار دوم $\sqrt{26}$ پس جمع این دو بردار باید درازایِ $\sqrt{5}+\sqrt{26}\simeq 7.3$ شود و چون نشده‌است تعجب کرده‌اید. ولی در واقع اشتباه از شما است. شما دو جمع زیر را اشتباه گرفته‌اید.
$$(1,2)+(5,1)\neq \sqrt{5}+\sqrt{26}$$
نگاه کنید که سمت چپ دو تا بردار جمع می‌شوند و سمت راست دو تا عدد! دو جنس متفاوت. تنها در صورتی اندازهٔ جمع دو بردار برابر با جمع اندازهٔ آن دو بردار است که این دو بردار موازی و هم‌جهت باشند! برای نمونه اگر به جای بردارِ قرمز، بردار صورتی در زیر را داشتیم.
بردار صورتی در شکل بالا هم‌اندازهٔ بردار قرمز است و موازی و هم‌جهت با بردار آبی، پس جمع بردار صورتی با بردار آبی برداری می‌شود که اندازه‌اش $\sqrt{5}+\sqrt{26}$ است. ولی آیا دو بردارِ قرمز و صورتی دو بردار مساوی هستند؟ خیر؟ چرا؟ چون بردار قرمز $(5,1)$ است ولی بردار صورتی $(\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{5}},2\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{5}})$ که برابر نیستند، بردار دوم با نمایش اعشاری تقریبا می‌شود $(2.28,4.56)$ که $(5,1)$ نیست.
