چرا زمانی که دو بردار بر هم عمودند شیبشان معکوس هم است با توضیح سطح دبیرستان

Question

چرا زمانی که دو خط را در دستگاه مختصات بر هم عمود میکنیم شیب آنها قرینه و معکوس یک دیگر میشود این رو با توضیح میخواهم و سال نهم هم هستم

Comments

@Homayun به تلاش خود اشاره کنید. دست‌کم آیا به کتابی نگاه انداخته‌اید، جستجویی کرده‌اید؟

Answer 1

روش اول: دو خط برهم عمود هستند اگر و تنها اگر خطوط موازی گذرا از مبدا متناظرشان عمود بر هم باشند (چرا؟). در شکل بالا می‌بینید که $\theta_{2} - \theta_{1}$ برابر ۹۰ درجه می‌باشد. شیب خط سبز را $m_{1}$ بنامید که اگر نقطهٔ $B$ یک نقطه بر روی آن با مختصاتِ $B=(x_{1},y_{1})$ باشد، آنگاه این شیب برابر $\frac{y_{1}}{x_{1}}$ خواهد بود. این یعنی $\tan(\theta_1)=\frac{y_{1}}{x_{1}}$ (چرا؟). به همین ترتیب با در نظر گرفتنِ نقطهٔ $C=(x_2,y_2)$ بر روی خط آبی و نام گذاشتنِ $m_2$ برای شیب این خط، داریم $m_{2}=\tan(\theta_{2})=\frac{y_{2}}{x_{2}}$.

اکنون با استفاده از روابط مثلثاتی برای تانژانت داریم

$$\tan(90)=\tan(\theta_{2}-\theta_{1})=\frac{\tan(\theta_2)-\tan(\theta_1)}{1+\tan(\theta_1)\tan(\theta_2)}=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}} \;\;\;\;\;\;\;\; (1)$$

با توجه به اینکه $\tan(90)=\infty$ از طرف راست معادله $(1)$ می‌توان نتیجه گرفت که $m_{1} m_{2}=-1$. (چرا؟)

لطفا جزییات را خودتان کامل نمایید.

روش دوم: با استفاده از ضرب داخلی دو بردارها. (جزییات به عهده‌ی خودتان).

Comments

سلام.
اشاره شده بود در حد پایه هشتم و نهم.

Answer 2

بنابه تشابه شکلها اگر مسأله را برای دو خط که از مبدأ می گذرند و بر هم عمودند حل کنیم اثبات کامل است.

فرض کنید که دو خط $y=mx$ و $y=ax$ ($m \neq 0$) در مبدأ بر هم عمودند.حالا در دستگاه محورهای مختصات خطها را در نظر بگیرید واضح است که $(1,m)$ نقطه ای روی خط $y=mx$ است.با توجه به اینکه زاویه بین دو خط عمود بر هم $90$ در جه است، اگر نقطه $(1,m)$ را به اندازه $90$ درجه در جهت خلاف عقربه های ساعت حول مبدأ مختصات دوران دهیم نقطه روی خط $y=ax$ قرار میگیرد و بنابه تشابه مثلثها مختصات نقطه حاصل از دوران $(-m,1)$ است.حالا شیبها را به کمک این نقاط مقایسه کنید:

$a= \frac{1-0}{-m-0}= \frac{1}{-m}=- \frac{1}{m} \Rightarrow m=- \frac{1}{a}$

یعنی شیب دو خط قرینه معکوس همدیگرند.

اگر $m=0$ آنگاه خط موازی محور طولها است و لذا هر خط عمود بر آن موازی محور عرض ها است که شیب آن تعریف نشده است.

$\Box$