به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
69 بازدید
در دبیرستان توسط Homayun (4 امتیاز)

چرا زمانی که دو خط را در دستگاه مختصات بر هم عمود میکنیم شیب آنها قرینه و معکوس یک دیگر میشود این رو با توضیح میخواهم و سال نهم هم هستم

توسط AmirHosein (19,582 امتیاز)
+1
@Homayun به تلاش خود اشاره کنید. دست‌کم آیا به کتابی نگاه انداخته‌اید، جستجویی کرده‌اید؟

2 پاسخ

+1 امتیاز
توسط Hamed.Baghal (427 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

تصویر برای تشریح دو خط عمود برهم

روش اول: دو خط برهم عمود هستند اگر و تنها اگر خطوط موازی گذرا از مبدا متناظرشان عمود بر هم باشند (چرا؟). در شکل بالا می‌بینید که $\theta_{2} - \theta_{1}$ برابر ۹۰ درجه می‌باشد. شیب خط سبز را $m_{1}$ بنامید که اگر نقطهٔ $B$ یک نقطه بر روی آن با مختصاتِ $B=(x_{1},y_{1})$ باشد، آنگاه این شیب برابر $\frac{y_{1}}{x_{1}}$ خواهد بود. این یعنی $\tan(\theta_1)=\frac{y_{1}}{x_{1}}$ (چرا؟). به همین ترتیب با در نظر گرفتنِ نقطهٔ $C=(x_2,y_2)$ بر روی خط آبی و نام گذاشتنِ $m_2$ برای شیب این خط، داریم $m_{2}=\tan(\theta_{2})=\frac{y_{2}}{x_{2}}$.

اکنون با استفاده از روابط مثلثاتی برای تانژانت داریم

$$\tan(90)=\tan(\theta_{2}-\theta_{1})=\frac{\tan(\theta_2)-\tan(\theta_1)}{1+\tan(\theta_1)\tan(\theta_2)}=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}} \;\;\;\;\;\;\;\; (1)$$

با توجه به اینکه $\tan(90)=\infty$ از طرف راست معادله $(1)$ می‌توان نتیجه گرفت که $m_{1} m_{2}=-1$. (چرا؟)

لطفا جزییات را خودتان کامل نمایید.

روش دوم: با استفاده از ضرب داخلی دو بردارها. (جزییات به عهده‌ی خودتان).

توسط قاسم شبرنگ (1,025 امتیاز)
سلام.
اشاره شده بود در حد پایه هشتم و نهم.
0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (1,025 امتیاز)

بنابه تشابه شکلها اگر مسأله را برای دو خط که از مبدأ می گذرند و بر هم عمودند حل کنیم اثبات کامل است.

فرض کنید که دو خط $y=mx$ و $y=ax$ ($m \neq 0$) در مبدأ بر هم عمودند.حالا در دستگاه محورهای مختصات خطها را در نظر بگیرید واضح است که $(1,m)$ نقطه ای روی خط $y=mx$ است.با توجه به اینکه زاویه بین دو خط عمود بر هم $90$ در جه است، اگر نقطه $(1,m)$ را به اندازه $90$ درجه در جهت خلاف عقربه های ساعت حول مبدأ مختصات دوران دهیم نقطه روی خط $y=ax$ قرار میگیرد و بنابه تشابه مثلثها مختصات نقطه حاصل از دوران $(-m,1)$ است.حالا شیبها را به کمک این نقاط مقایسه کنید:

$a= \frac{1-0}{-m-0}= \frac{1}{-m}=- \frac{1}{m} \Rightarrow m=- \frac{1}{a} $

یعنی شیب دو خط قرینه معکوس همدیگرند.

اگر $m=0$ آنگاه خط موازی محور طولها است و لذا هر خط عمود بر آن موازی محور عرض ها است که شیب آن تعریف نشده است.

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...