بنام خداوند بخشنده و مهربان
پرسش:
تعداد ریشه‌های مثبت و منفی تابع
$f(x)=3^{2}-e^{x} $
را با کمک تعیین علامت پیدا کرده و برای هر ریشه یک بازه‌ی جدا کننده ارائه کنید.
پاسخ:
اگر از این تابع سه بار مشتق بگیریم به تابع ساده‌ترِ $-e^{x}$ می‌رسیم که همواره منفی است. چون تابع $e^{x}$ همواره مثبت است. با توجه به هدف مساله که یافتن تعداد ریشه‌ها، محدوده‌ی آن‌ها و علامت آن‌هاست، جدول زیر رسم می‌کنیم:
$$\begin{array}{c|ccc}
x & & \\\hline
f(x)=3x^2-e^x & & & \\\hline
f'(x)=6x-e^x & & & \\\hline
f''(x)=6-e^x & & \searrow & \\\hline
f^{(3)}(x)=-e^x & & - &
\end{array}$$
توجه کنید که در دو سطر آخر جدول این گونه عمل کردیم که چون $ f^{(3)}< 0 $ پس $ f'' $ کاهشی اکید ( اکیدا نزولی) است. یک تابع در بازه‌ای که یکنوای اکید است حداکثر می‌تواند یک ریشه داشته باشد. ابتدا از حد در بینهایت‌ها استفاده می‌کنیم. زیرا اگر در هر دو بینهایت یک علامت داشته باشد، در نتیجه در کل $\mathbb{R} $ یک علامت دارد و هرگز از صفر عبور نخواهد کرد.
$$\lim_{x \to -\infty}(6-e^{x})=6-\lim_{x \to-\infty}e^{x}=6-0=6>0$$
و
$$\lim_{x \to +\infty}(6-e^{x})=6-\lim_{x \to +\infty}e^{x}=6-\infty=-\infty< 0$$
پس $ f^2 $ یک ریشه دارد، آن‌را $ x_{0} $ می‌نامیم. با توجه به اطلاعات بالا جدول تعیین علامت را رسم می‌کنیم:
با توجه به اینکه یک ریشه داریم موقتا از یافتن بازه صرف نظر می‌کنیم. اکنون مقدار $ f^1 $ را در بینهایت‌ها چک می‌کنیم.
$$\lim_{x \to -\infty}(6x-e^{x})=\lim_{x \to-\infty}6x-\lim_{x \to -\infty}e^{x}=-\infty-0=-\infty< 0$$
و
$$\lim_{x \to +\infty}(6x-e^{x})=\lim_{x \to +\infty}6x-\lim_{x \to +\infty}e^{x}=-\infty< 0 $$
با توجه به اینکه رشد تابع $e^{x}$ در بینهایت سریع‌تر از تابع $ 6x $ است بنابراین حد تابع $ f^{1} $ در مثبت بینهایت، برابر منفی بینهایت می‌شود. برای تابع $ f^1 $ یکی از چند حالت زیر را خواهیم داشت:
اگر
$ f^1 (x_0 )< 0 $
آن‌گاه تابع $ f^1 $در کل $ \mathbb{R} $ منفی خواهد بود.
اگر
$ f^1 (x_0 )=0 $
آن‌گاه نقطه‌ی $ x_0 $ تنها ریشه‌ی تابع $ f^1 $ خواهد بود.
اگر
$ f^1 (x_0 )>0 $
آن‌گاه، تابع $ f^1 $یک ریشه قبل از ($ x_0 $) و یک ریشه بعد از ($ x_0 $ ) خواهد داشت.
با توجه به اینکه مقدار $ x_0 $ را نداریم، ابتدا $ f^1 (x_0 )=0 $ را بررسی می‌کنیم. با توجه به اینکه $ f^2 (x_0 )=0 $
داریم:
$$f^2(x) = 0 \Rightarrow 6 - {e^x} = 0 \to 6 = {e^x}$$
و
$$f^1(x) = 0 \Rightarrow 6x - {e^x} = 0 \to 6x = {e^x}$$
در نتیجه:
$ 6 = 6x \Rightarrow x = 1$
با توجه به مقداری که برای $ x $ بدست آوردیم داریم:
$$f^{2}(1)=6-e^{1}=6-2.7\simeq3.3>0 $$
( با توجه به اینکه ما روش ریشه‌یابی عددی را کنار گذاشتیم، جای‌گذاری در روابط مجاز است.) با توجه به رابطه‌ی بالا اگر $ f^1 (x_0 )=0 $ آن‌گاه باید داشته باشیم: $ x_0=1 $.
اگر $ x_0=1 $ آن‌گاه: $ f^2(x_0)=f^2(1)=3.3\neq 0 $ و این با فرض ما در تناقض است. پس فرض خلف
$ ( f^1 (x_0)=0 ) $
باطل است و خواهیم داشت:
$f^1 (x_0)\neq0$.
برای بدست آوردن یک تقریب اولیه مقداری دلخواه را با توجه به شرایط مسئله حدس می‌زنیم (مثلا: $ x=0 $) تا ببینم که در چه فاصله‌ای نسبت به
$ x_0 $
قرار دارد. داریم:
$${f^x}(0) = 6 - {e^0} = 5 > 0$$
و
$${f^1}(0) = 6(0) - {e^0} = 0 - 1 = - 1 < 0$$
در نتیجه:
$ x_{0}>0$
با انتخاب عدد بعدی $ (x=2) $ داریم:
$$
{f^2}(2) = 6 - {e^2} = 6 - 7.3 \simeq - 1.3 < 0$$
و
$${f^1}(2) = 6(2) - {e^2} = 12 - 7.3 \simeq 4.7 > 0$$
در نتیجه:
${x_0} < 2$
با توجه به مثبت بودن مقدار $ f^{1}(2) $ می‌توان نتیجه گرفت که حالت سوم برقرار است، پس $ f^{1} $ دو ریشه دارد، آن‌ها را $ x_{1} $ و $ x_{2} $ می‌نامیم. با توجه به قسمت (3) داریم: $ x_{1}< x_{0}< x_{2} $، به‌علاوه چون $ f^{1}(0)< 0 $ و $ f^{1}(2)>0 $ پس $ 0< x_{1}< x_{0}< x_{2}< 2 $. با توجه به این توضیحات جدول (3) زیر را خواهیم داشت:
می‌توان حدس زد که نخستین گام بعدی چیست! اکنون به بررسی حد $ f(x) $ در بینهایت‌ها می‌پردازیم.
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (3{x^2} - {e^x}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 3{x^2} - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {e^x} = + \infty - 0 > 0$$
و
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (3{x^2} - {e^x}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } 3{x^2} - \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } {e^x} = - \infty < 0$$
با توجه به تساوی بالا جدول(4) زیر را خواهیم داشت:
با استفاده از نقطه‌های کمکی مرحله‌ی قبل داریم: $f(0)=3(0)^{2}-e^{0}=-1< 0$.
با توجه به این تساوی می‌توانیم نتیجه بگیریم که تابع
$f$
دقیقا یک ریشه در $ (-\infty,x_{1}) $ دارد که اتفاقا در بازه‌ی
$ (-\infty,0) $
قرار دارد. پس:
*تعداد ریشه‌های منفی دقیقا یک است و $(-\infty,0)$ یک بازه‌ی جدا کننده برای آن است.
با توجه به تساوی $f(2)=3(2)^{2}-e^{2}=12-7.3>0$
و جدول بالا می‌توانیم نتیجه بگیریم که تابع
$f$
دقیقا یک ریشه بین$ x_{1} $ و $ x_{2} $ یک ریشه در
$ (x_{2},\infty)$
دارد. (با توجه به رابطه‌ی
$ 0< f(2)< f(x_{2}) $
داریم:
$ f(x_{2})>0 $)
به‌علاوه این ریشه باید در بازه‌ی
$ (2,+\infty) $
باشد. بنابراین:
*** تعداد ریشه‌های مثبت دقیقا دو است و $ (0,2) $ و $ (2,\infty) $ دو بازه‌ی جدا کننده برای آن‌ها هستند.**
تذکر: تنها محاسبه‌های رایانه‌ای یا عددی که انجام شد مقادیر $ e^{1}$ و $ e^{2}$ بودند که حتی می‌توان از جدول‌های عددی آماری هم آن‌ها را بدست آورد و برای محاسبات به ابزارهای محاسباتی متوسل نشد. پس مشاهده کردید که برای محاسبه هم هزینه‌ی چندانی پرداخت نکردیم! با تشکر از استاد امیرحسین صادقی‌منش که در حل دقیق این سوال راهنمای من بودند.
