به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
287 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط good4us (7,298 امتیاز)
ویرایش شده توسط UnknownUser

معادلهٔ جزءصحیح‌دار زیر را بررسی کنید و ریشه‌های آن را محاسبه کنید.

$$\left\lfloor{\frac{x+3}{2}}\right\rfloor=\frac{4x+5}{3}$$

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط amirabbas (1,345 امتیاز)
انتخاب شده توسط good4us
 
بهترین پاسخ

پاسخ ویرایش شد .

به نظرم این طوری حل میشه:

در مرحله اول دقت کنید که حاصل جز صحیح حتما یک عدد صحیح مثل k است پس خواهیم داشت :

$$\frac{4x+5}{3} = k$$

پس می توان نوشت : $$x = \frac{3k-5}{4}$$

مقداری که برای x بدست آوردیم را در معادله جایگذاری کرده و آن را بازنویسی می کنیم.

$$[\frac{\frac{3k-5}{4} + 3}{2}] = k$$

و با ساده سازی آن می توان نوشت :

$$[\frac{3k+7}{8}] = k$$

با توجه به این که اگر $[p] = k$ خواهیم داشت $k \leq p < k+1$ می توان نوشت :

$$k \leq \frac{3k+7}{8} < k+1$$

پس :

$$8k \leq 3k+7 < 8k + 8$$

با حل دو نامعادله بالا و اشتراک گیری از جواب آن دو خواهیم داشت:

$$0 \leq k \leq 1$$

با توجه به صحیح بودن k دو پاسخ 1 , 0 قابل قبول هستند و با توجه به x هایی که به ازای این مقادیر بدست می آيد مجموعه جواب معادله به صورت $ \lbrace -\frac{5}{4}, -\frac{1}{2}\rbrace $ است.

دقت کنید که پاسخ رو ویرایش کردم چون همونطوری که @Taha1381 اشاره کرد پاسخ قبلیم غلط بود . در پاسخ قبلی در نامعادله $0 \leq k \leq 1 $ به این موضوع که تنها مقادیر صحیح k قابل قبول هستند توجه نکرده بودم.

توسط Taha1381 (1,789 امتیاز)
+2
پاسختون غلط هست چون به ازای $x=-1$ داریم$\frac{1}{3}=1$ که تناقض است.
توسط amirabbas (1,345 امتیاز)
+1
ممنون. حق با شماست. پاسخ رو ویرایش کردم. در واقع در آخرین نامعادله صحیح بودن k رو در نظر نگرفته بودم.
توسط good4us (7,298 امتیاز)
آفرین باتشکر

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...