چگونه معادلهٔ $|\lfloor\sqrt{\lfloor x\rfloor}\rfloor|=a$ را بر حسب $x$ حل کنم؟

Question

معادلهٔ زیر را در نظر بگیرید:

$$\left | \left \lfloor \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } \right \rfloor \right | =a$$

هر تلاشی برای حل آن انجام دادم به نتیجه‌ای نرسیدم. چگونه می‌توان آن را برحسب $x$ حل کرد؟

Answer 1

به نام خدا

در معادلهٔ زیر:

$$\left | \left \lfloor \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } \right \rfloor \right | =a$$

ابتدا باید معادله را به صورت زیر بنویسیم، زیرا معادله دارای قدر مطلق است.

$$\left \lfloor \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } \right \rfloor =\pm a$$

پس باید دو معادلهٔ زیر را حل کنیم:

$$\left \lfloor \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } \right \rfloor = a$$

$$\left \lfloor \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } \right \rfloor =- a$$

ابتدا معادلهٔ $\left \lfloor \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } \right \rfloor = a$ را حل می‌کنیم.

می‌توان این معادله را به صورت نامساوی زیر ‌نوشت:

$$a \leq \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } < a+1$$

هر سه طرف نامساوی را به توان $2$ می‌رسانیم.

$$a^2 \leq \left \lfloor x \right \rfloor < a^2+2a+1$$

که می‌توان این نامساوی را به صورت زیر نوشت:

$$a^2 \leq x < a^2+2a+1$$

معادلهٔ $\left \lfloor \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } \right \rfloor =- a$ نیز به همین صورت حل می‌شود.

البته همهٔ این‌ها در صورتی درست است که $a$ نامنفی باشد، ولی اگر $a$ منفی بود، در این صورت باید جهت نامعادله را پس از به‌توان $2$ رساندن، تغییر بدهیم تا جواب معادله به‌درستی بدست آید.

و نکتهٔ دیگر اینکه این معادله کلاً در صورتی جواب دارد که $a$ صحیح باشد.

بنابراین معادله حل شد و کار به اتمام رسید.

Comments

@Math.Al احتمالا شما فرض کرده‌اید که $a$ نامنفی باشد. چون برای نمونه در قسمت مربوط به خود $a$، اگر $a$ منفی و کمتر از $-1$ باشد آنگاه سمت نابرابری‌ها پس از به توان رساندن تغییر می‌کند. و اگر هم بین صفر و منفی یک باشد که پس از به توان زوج رساندن یک طرف صفر و طرف دیگر بازه بیشینهٔ توان دو طرف می‌شود. برای قسمت $-a$ نیز همین حالت‌بندی را نیز باید انجام دهید.

---

بنظرم اشاره بشه که برای a صحیح نا منفی، x وجود دارد.  مثلا برای a=1.5 هیج x ی وجود ندارد.