به نام خدا
در معادلهٔ زیر:
$$\left | \left \lfloor \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } \right \rfloor \right | =a $$
ابتدا باید معادله را به صورت زیر بنویسیم، زیرا معادله دارای قدر مطلق است.
$$ \left \lfloor \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } \right \rfloor =\pm a $$
پس باید دو معادلهٔ زیر را حل کنیم:
$$ \left \lfloor \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } \right \rfloor = a $$
$$ \left \lfloor \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } \right \rfloor =- a $$
ابتدا معادلهٔ $ \left \lfloor \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } \right \rfloor = a $ را حل میکنیم.
میتوان این معادله را به صورت نامساوی زیر نوشت:
$$a \leq \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } < a+1 $$
هر سه طرف نامساوی را به توان $2$ میرسانیم.
$$a^2 \leq \left \lfloor x \right \rfloor < a^2+2a+1 $$
که میتوان این نامساوی را به صورت زیر نوشت:
$$a^2 \leq x < a^2+2a+1 $$
معادلهٔ $ \left \lfloor \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } \right \rfloor =- a $ نیز به همین صورت حل میشود.
البته همهٔ اینها در صورتی درست است که $a$ نامنفی باشد، ولی اگر $a$ منفی بود، در این صورت باید جهت نامعادله را پس از بهتوان $2$ رساندن، تغییر بدهیم تا جواب معادله بهدرستی بدست آید.
و نکتهٔ دیگر اینکه این معادله کلاً در صورتی جواب دارد که $a$ صحیح باشد.
بنابراین معادله حل شد و کار به اتمام رسید.
