آیا تساوی جزء صحیح و جزء صحیح سقف زیر بر قرار است؟ $$\left \lceil\frac{ \sqrt{8n+1}-1 }{2} \right \rceil = \bigg\lfloor\sqrt{2n}+\frac12\bigg\rfloor$$

Question

• از دو جوابی که به صورت جزء صحیح (کف) و جزء صحیح سقف در توضیحات این لینک ارائه شد نظرم به این جلب کرد که آیا واقعا این دو مساویند. یعنی آیا تساوی زیر برای هر nطبیعی درست است؟ $$\left \lceil \frac{ \sqrt{8n+1}-1 }{2} \right \rceil = \bigg\lfloor\sqrt{2n}+\frac12\bigg\rfloor$$

Comments

واضح است که برای هر kوnبر قرار نیست منظورم از kهمان n می باشه.در کپی جوابها این مشکل پیش آمد ویرایش انجام دادم.

Answer 1

به نام خدا.

برای $n $های با شرط برقرار زیر میتوان نوشت :

$\sqrt{8n+1}≠2k+1$

$[ \frac{1}{2}(\sqrt{8n+1}-1)]+1=[\frac{1}{2}(\sqrt{8n}+1)]$

$\Rightarrow [ \frac{1}{2}(\sqrt{8n}+1)]-[\frac{1}{2}(\sqrt{8n+1}-1)]=1$

$\Rightarrow 0 \leq \frac{1}{2}(\sqrt{8n}+1)-\frac{1}{2}(\sqrt{8n+1}-1)< 2$

با ساده کردن به این نامساوی میرسیم :

$-2 \leq \sqrt{8n+1} - \sqrt{8n}< 2 $

که چون $n$ عددی طبیعی است پس :

$0< \sqrt{8n+1} - \sqrt{8n}< 2$

که کاملا درسته.

حال برای $n$ های با شرط زیر میتوان نوشت :

$\sqrt{8n+1}=2k+1$

$[ \frac{1}{2}(\sqrt{8n+1}-1)]=[\frac{1}{2}(\sqrt{8n}+1$)]

$\Rightarrow |\frac{1}{2}(\sqrt{8n+1}-1)-\frac{1}{2}(\sqrt{8n}+1)|< 1$

$\Rightarrow -1< \frac{1}{2}(\sqrt{8n+1}-1)-\frac{1}{2}(\sqrt{8n}+1)< 1$

$\Rightarrow -2< (\sqrt{8n+1}-1)-(\sqrt{8n}+1)< 2$

$\Rightarrow 0< \sqrt{8n+1}-\sqrt{8n}< 4$

پس برای $\forall n \in N $ این تساوی برقرار است.

Comments

@matt دو  طرف تساوی دو نوع جزء صحیح مختلف وجود دارد اما شما یک نوع، جزء صحیح معمولی یعنی کف در نظر گرفتید. کف 1.9  برابر 1 و سقف  0.1 نیز 1 می باشه اما اختلاف 1.9 و 0.1 کمتر از یک نیست. بنابراین نمی توان قبولش کرد.

---

@amir7788
همواره داریم

$x  \in N \Rightarrow \left \lceil x\right \rceil = [x]=x$

$x  \notin N \Rightarrow \left \lceil x\right \rceil = [x]+1$