Question

انتگرال معین زیر را بیابید : $$ \int_0^ \infty (arctan(ax)-arctan(x))/xdx$$ راهنمایی:انتگرال را نسبت به پارامتر a گرفته ونسبت به a مشتق میگیریم.

Comments

@mansour مرجع‌دهی را درست انجام دهید! اسم کتاب «لورنسی لارسن» است؟ احتمالا اسم نویسنده است، اسم کتاب پس کجاست؟ کتاب به فارسی است؟ اگر به انگلیسی است، نام کتاب و نام نویسنده یا نویسنده‌ها نیز به فارسی نیستند! نه؟ شمارهٔ صفحه و تمرین؟ انتظار ندارید که مخاطب کل کتاب را نگاه کند تا متن شما را پیدا کند. گاها شمارهٔ ویرایش یا سال چاپ یا اسم انتشارات نیز نیاز به ذکر است.

Answer 1

تابع $H$ را روی $R$ به صورت زیر تعریف میکنیم:

$H(a)=\int \frac{tan^{-1}(ax)-tan^{-1}x}{x} dx$

در اینجا تا پایان اثبات انتگرال روی بازه $(0,+ \infty )$ است.(متاسفانه من بلد نیستم انتگرال معین و سیگما معین را تایپ کنم).بنابر این:

$ H'(a)= \int \frac{1}{x} \frac{x}{1+a^2x^2}dx= \frac{1}{a} \int \frac{a}{1+(ax)^2} dx= \frac{1}{a} [tan^{-1} \infty -tan^{-1}0]= \frac{1}{a} [ \frac{ \pi }{2} -0]= \frac{ \pi }{2a}$

$ \Rightarrow H(a)= \frac{ \pi }{2} Lna+C$

از طرفی دیگر:

$H(1)= \int \frac{tan^{-1}x-tan^{-1}x}{x} dx= \int 0dx=0 \Rightarrow0= \frac{ \pi }{2} Ln1+C \Rightarrow C=0 \Rightarrow H(a)= \frac{ \pi }{2} Lna$