Question

انتگرال معین زیر را بیابید : $$ \int_0^ \infty (arctan(ax)-arctan(x))/xdx$$ راهنمایی:انتگرال را نسبت به پارامتر a گرفته ونسبت به a مشتق میگیریم.

Comments

@mansour مرجع‌دهی را درست انجام دهید! اسم کتاب «لورنسی لارسن» است؟ احتمالا اسم نویسنده است، اسم کتاب پس کجاست؟ کتاب به فارسی است؟ اگر به انگلیسی است، نام کتاب و نام نویسنده یا نویسنده‌ها نیز به فارسی نیستند! نه؟ شمارهٔ صفحه و تمرین؟ انتظار ندارید که مخاطب کل کتاب را نگاه کند تا متن شما را پیدا کند. گاها شمارهٔ ویرایش یا سال چاپ یا اسم انتشارات نیز نیاز به ذکر است.

Answer 1

تابع $H$ را روی بازه $ [0,+ \infty )$ به صورت زیر تعریف میکنیم.بنابه خواص مشتق و انتگرال داریم:

$H(a)=\int_0^{+ \infty } \frac{tan^{-1}(ax)-tan^{-1}x}{x} dx$

بنابر این:

$ H'(a)= \int_0^{+ \infty } \frac{1}{x} \frac{x}{1+a^2x^2}dx= \frac{1}{a} \int_0^{+ \infty }\frac{a}{1+(ax)^2} dx= \frac{1}{a} \lim_{ t\to + \infty} \int _0^t \frac{a}{1+(ax)^2} dx=$

$= \frac{1}{a} \lim_{t\to+ \infty } [Tan^{-1}(at) -tan^{-1}0]= \frac{1}{a} [ \frac{ \pi }{2} -0]= \frac{ \pi }{2a}$

$ \Rightarrow H(a)= \frac{ \pi }{2} Lna+C$

از طرفی دیگر:

$H(1)= \int_0^{+ \infty }\frac{tan^{-1}x-tan^{-1}x}{x} dx= \int_0^{+ \infty } 0dx=0$

$ \Rightarrow0= \frac{ \pi }{2} Ln1+C \Rightarrow C=0 \Rightarrow H(a)= \frac{ \pi }{2} Lna$

$ \Box $