هرتابع لزوما در دامنه اش و یا در زیر مجموعه ای از دامنه اش لزوماً پیوسته نیست. به عنوان مثال تابع علامت
$$ sign(x) =\begin{cases}1 & x > 0\\0 & x=0\\-1 & x < 0\end{cases} $$
در دامنه اش و یا زیرمجموعه هایی از آن پیوسته نیست. اما تابع $$f(x)=x$$با دامنه و برد اعداد حقیقی یک تابع پیوسته است.البته می توان زیرمجموعه ای برای دامنه آن در نظر گرفت که پیوسته نباشد.
