بازۀ $\large\big(\frac{1}{n}, \frac{2}{n - 10}\big)$ را در نظر بگیرید. به ازای چند مقدار طبیعیِ $n$، این بازه یک همسایگی $x_0 = \frac{2}{11}$ است؟
آیا راه‌حلی که در زیر برای این پرسش نوشته‌ام درست است؟
تلاش انجام‌شده:
فرض کنید که بازۀ $\large\big(\frac{1}{n}, \frac{2}{n - 10}\big)$، یک همسایگی $x_0 = \frac{2}{11}$ باشد. بنابراین $\large x_0\in\big(\frac{1}{n}, \frac{2}{n - 10}\big)$ و در نتیجه $\large \frac{2}{11}\in\big(\frac{1}{n}, \frac{2}{n - 10}\big)$. پس می‌توانیم بنویسیم:
$$\frac{1}{n} < \frac{2}{11} < \frac{2}{n - 10}$$
اگر $n \leq 10$، آنگاه کسر $\large\frac{2}{n - 10}$ یا تعریف نشده می‌شود (اگر $n = 10$)، یا کوچکتر از صفر (اگر $n < 10$) که تناقض است (با توجه به اینکه $\large\frac{2}{11} < \frac{2}{n - 10}$).
بنابراین نتیجه می‌گیریم که $\boxed{n > 10}$. در ادامه باید دو نامعادلۀ $\large\frac{1}{n} < \frac{2}{11}$ و $\large\frac{2}{n - 10} > \frac{2}{11}$ را حل کرده و از مجموعه‌جواب‌شان اشتراک بگیریم.
$$\begin{cases}\large\frac{1}{n} < \frac{2}{11} & \\ \frac{2}{n - 10} > \frac{2}{11} & \end{cases}\Longrightarrow\begin{cases}1 < \frac{2}{11}n & \\ 2 > \frac{2}{11}(n - 10) & \end{cases}\Longrightarrow\begin{cases}\frac{1}{\big(\frac{2}{11}\big)} < n & \\ \frac{2}{\big(\frac{2}{11}\big)} > n - 10 & \end{cases}\Longrightarrow\begin{cases}\frac{11}{2} < n & \\ 21 > n & \end{cases}$$
که اشتراک $\frac{11}{2} < n$ و $21 > n$ برابر است با $5.5 < n < 21$ و همچنین از آنجایی که $n > 10$، پس $\boxed{10 < n < 21}$. در نهایت از آنجایی که 10 عدد طبیعی بین 10 و 21 وجود دارد، پس پاسخ مسئله 10 می‌باشد.
