Question

به‌ازای عدد حقیقی $x$ کمترین مقدار عبارت $\sqrt{x^2+4x+8}+ \sqrt{x^2-6x+10}$ را به‌دست آورید.

• از طریق نامساوی مثلثی کمترین مقدار نامساوی را به‌دست آوردم؛ اما مشتاقم روش حل‌های دیگری را هم ببینم.

Answer 1

روش حل خودم بدین شیوه است که بردارهای $\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}$را در نظر می‌گیریم: $$\overrightarrow{a}=(x+2,2)$$ $$\overrightarrow{b}=(3-x,1)$$

• هر کدام از بردارهای$\overrightarrow{b} , \overrightarrow{a}$ برابرند با: $$| \overrightarrow{a}|= \sqrt{x²+4x+8}$$ $$|\overrightarrow{b}|= \sqrt{x²-6x+10}$$
• با توجه به نامساوی مثلثی زیر:

$$| \overrightarrow{a} |+| \overrightarrow{b}| \geq | \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b} |$$

پس: $$|\overrightarrow{a} |+| \overrightarrow{b}| \geq \sqrt{34}$$ در نتیجه مینیمم عبارت داده شده در سوال برابر است با: $$\sqrt{34}$$

Comments

آیا واقعا مینیمم اتفاق می افتد؟ بهتره مقدار x معرفی کنید.

---

با سلام خدمت شما
بله مینیمم اتفاق می افتد
چشم حتما در یک روش دیگر مقدار x رو هم در پاسخ ها قرار میدم.

Answer 2

بگیریم

$y= \sqrt{x^2+4x+8} +\sqrt{x^2-6x+10}$

پس:

$$y'= \frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+8} }+\frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+10} }=0$$

با حل معادله مشتق$x=8 و x= \frac{4}{3}$ به دست می آیند که 8 ریشه خارجی است و با تنظیم جدول تغییرات تابع مشخص می شود که تابع در $x= \frac{4}{3}$ مینیمم دارد و مقدار تابع به ازای آن برابر $\sqrt{34}$ است.

Comments

بنظرم معادلهٔ درجه سوم بدست می آید اینطور نیست؟

---

با ساده شدن معادله، به راحتی می‌توان معادله را به صورت معادله درجه دوم در آورد.