به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+6 امتیاز
438 بازدید
در دبیرستان توسط Dana_Sotoudeh (2,124 امتیاز)
ویرایش شده توسط Dana_Sotoudeh

به‌ازای عدد حقیقی $x$ کمترین مقدار عبارت $ \sqrt{x^2+4x+8}+ \sqrt{x^2-6x+10}$ را به‌دست آورید.

  • از طریق نامساوی مثلثی کمترین مقدار نامساوی را به‌دست آوردم؛ اما مشتاقم روش حل‌های دیگری را هم ببینم.
مرجع: المپیاد دانش آموزی مرحله اول سال ۱۳۹۸

2 پاسخ

+7 امتیاز
توسط Dana_Sotoudeh (2,124 امتیاز)
انتخاب شده توسط Dana_Sotoudeh
 
بهترین پاسخ

روش حل خودم بدین شیوه است که بردارهای $ \overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} $را در نظر می‌گیریم: $$ \overrightarrow{a}=(x+2,2) $$ $$\overrightarrow{b}=(3-x,1)$$

  • هر کدام از بردارهای$ \overrightarrow{b} , \overrightarrow{a} $ برابرند با: $$ | \overrightarrow{a}|= \sqrt{x²+4x+8}$$$$|\overrightarrow{b}|= \sqrt{x²-6x+10} $$
  • با توجه به نامساوی مثلثی زیر:

$$| \overrightarrow{a} |+| \overrightarrow{b}| \geq | \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b} |$$

پس: $$|\overrightarrow{a} |+| \overrightarrow{b}| \geq \sqrt{34} $$ در نتیجه مینیمم عبارت داده شده در سوال برابر است با: $$\sqrt{34}$$

توسط amir7788 (2,949 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788
آیا واقعا مینیمم اتفاق می افتد؟ بهتره مقدار x معرفی کنید.
توسط Dana_Sotoudeh (2,124 امتیاز)
+2
با سلام خدمت شما
بله مینیمم اتفاق می افتد
چشم حتما در یک روش دیگر مقدار x رو هم در پاسخ ها قرار میدم.
+4 امتیاز
توسط good4us (7,308 امتیاز)

بگیریم

$y= \sqrt{x^2+4x+8} +\sqrt{x^2-6x+10} $

پس:

$$y'= \frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+8} }+\frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+10} }=0 $$

با حل معادله مشتق$x=8 و x= \frac{4}{3} $ به دست می آیند که 8 ریشه خارجی است و با تنظیم جدول تغییرات تابع مشخص می شود که تابع در $x= \frac{4}{3} $ مینیمم دارد و مقدار تابع به ازای آن برابر $ \sqrt{34}$ است.

توسط amir7788 (2,949 امتیاز)
بنظرم معادلهٔ درجه سوم بدست می آید اینطور نیست؟
توسط Dana_Sotoudeh (2,124 امتیاز)
+1
با ساده شدن معادله، به راحتی می‌توان معادله را به صورت معادله درجه دوم در آورد.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...