Question

به ازای کدام مقادیر حقیقی x نامساوی زیر برقرار است: $ \frac{4 x^{2} }{ (1- \sqrt{1+2x})^{2} } \prec 2x+9 $

Answer 1

$\frac{4 x^{2} }{ (1- \sqrt{1+2x})^{2} }=( \frac{2x}{1- \sqrt{1+2x}})^2=( \frac{2x}{1- \sqrt{1+2x}} \times \frac{1+ \sqrt{1+2x}}{1+ \sqrt{1+2x}} )^2=( \frac{2x(1+ \sqrt{1+2x})}{-2x})^2=(1+ \sqrt{1+2x})^2=2+2x+2\sqrt{1+2x}$

$ \rightarrow 2+2x+2\sqrt{1+2x}< 2x+9 \rightarrow\sqrt{1+2x}< 3.5 \rightarrow 1+2x< \frac{49}{4} \rightarrow x< \frac{45}{8} $

حال با دامنه رادیکال یعنی $x \geq -0.5$ اشتراک می گیریم.

$$ \rightarrow x \in [ \frac{-1}{2}, \frac{45}{8}) $$