Question

نامساوی زیر به ازای کدام مقادیر حقیقی x برقرار است: $ \sqrt{3-x} - \sqrt{x+1} > \frac{1}{2} $ برای حل تابع $f(x)= \sqrt{3-x} - \sqrt{x+1} $را لحاظ میکنیم.

Answer 1

$\sqrt{3-x} - \sqrt{x+1} > \frac{1}{2} \rightarrow\sqrt{3-x}>\frac{1}{2}+\sqrt{x+1} $

هر دو طرف نامنفی اند. پس آنها را به توان 2 می رسانیم.

$\sqrt{3-x}>\frac{1}{2}+\sqrt{x+1} \rightarrow 3-x> \frac{1}{4}+x+1+\sqrt{x+1} \rightarrow \frac{7}{4}-2x>\sqrt{x+1} $

مجدا هر دو طرف باید نامنفی باشند پس با شرط $\frac{7}{4}-2x \geq 0 \rightarrow x \leq \frac{7}{8} $ دو طرف را مربع می کنیم.

$\frac{7}{4}-2x>\sqrt{x+1} \rightarrow \frac{49}{16}+4x^2-7x>x+1 \rightarrow 4x^2-8x+ \frac{33}{16}>0 $

$$\rightarrow x< 1- \frac {\sqrt{31} }{8} \vee x>1+\frac{ \sqrt{31} }{8}$$

حال دامنه زیر رادیکال ها را نیز لحاظ کرده و با شرط موجود اشتراک میگیریم. $$( x< 1- \frac {\sqrt{31} }{8} \vee x>1+\frac{ \sqrt{31} }{8}) \wedge (-1 \leq x \leq 3) \wedge( x \leq \frac{7}{8})$$ $$x \in[-1,1- \frac {\sqrt{31} }{8}) $$