$\sqrt{3-x} - \sqrt{x+1} > \frac{1}{2} \rightarrow\sqrt{3-x}>\frac{1}{2}+\sqrt{x+1} $
هر دو طرف نامنفی اند. پس آنها را به توان 2 می رسانیم.
$\sqrt{3-x}>\frac{1}{2}+\sqrt{x+1} \rightarrow 3-x> \frac{1}{4}+x+1+\sqrt{x+1} \rightarrow \frac{7}{4}-2x>\sqrt{x+1} $
مجدا هر دو طرف باید نامنفی باشند پس با شرط
$\frac{7}{4}-2x \geq 0 \rightarrow x \leq \frac{7}{8} $
دو طرف را مربع می کنیم.
$\frac{7}{4}-2x>\sqrt{x+1} \rightarrow \frac{49}{16}+4x^2-7x>x+1 \rightarrow 4x^2-8x+ \frac{33}{16}>0 $
$$\rightarrow x<1- \frac {\sqrt{31} }{8} \vee x>1+\frac{ \sqrt{31} }{8}$$
حال دامنه زیر رادیکال ها را نیز لحاظ کرده و با شرط موجود اشتراک میگیریم.
$$( x<1- \frac {\sqrt{31} }{8} \vee x>1+\frac{ \sqrt{31} }{8}) \wedge (-1 \leq x \leq 3) \wedge( x \leq \frac{7}{8})$$
$$x \in[-1,1- \frac {\sqrt{31} }{8}) $$
