Question

به‌ازای عدد حقیقی $x$ کمترین مقدار عبارت $ \sqrt{x^2+4x+8}+ \sqrt{x^2-6x+10}$ را به‌دست آورید.

• از طریق نامساوی مثلثی کمترین مقدار نامساوی را به‌دست آوردم؛ اما مشتاقم روش حل‌های دیگری را هم ببینم.

Answer 1

روش حل خودم بدین شیوه است که بردارهای $ \overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} $را در نظر می‌گیریم: $$ \overrightarrow{a}=(x+2,2) $$ $$\overrightarrow{b}=(3-x,1)$$

• هر کدام از بردارهای$ \overrightarrow{b} , \overrightarrow{a} $ برابرند با: $$ | \overrightarrow{a}|= \sqrt{x²+4x+8}$$$$|\overrightarrow{b}|= \sqrt{x²-6x+10} $$
• با توجه به نامساوی مثلثی زیر:

$$| \overrightarrow{a} |+| \overrightarrow{b}| \geq | \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b} |$$

پس: $$|\overrightarrow{a} |+| \overrightarrow{b}| \geq \sqrt{34} $$ در نتیجه مینیمم عبارت داده شده در سوال برابر است با: $$\sqrt{34}$$

Comments

آیا واقعا مینیمم اتفاق می افتد؟ بهتره مقدار x معرفی کنید.

---

با سلام خدمت شما
بله مینیمم اتفاق می افتد
چشم حتما در یک روش دیگر مقدار x رو هم در پاسخ ها قرار میدم.

Answer 2

بگیریم

$y= \sqrt{x^2+4x+8} +\sqrt{x^2-6x+10} $

پس:

$$y'= \frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+8} }+\frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+10} }=0 $$

با حل معادله مشتق$x=8 و x= \frac{4}{3} $ به دست می آیند که 8 ریشه خارجی است و با تنظیم جدول تغییرات تابع مشخص می شود که تابع در $x= \frac{4}{3} $ مینیمم دارد و مقدار تابع به ازای آن برابر $ \sqrt{34}$ است.

Comments

بنظرم معادلهٔ درجه سوم بدست می آید اینطور نیست؟

---

با ساده شدن معادله، به راحتی می‌توان معادله را به صورت معادله درجه دوم در آورد.