چگونه کمترین مقدارِ تابعِ $y=x-\sqrt{x}+2$ را بیابیم؟

Question

در کتابی اسن پرسش آمده‌است که کمترین مقدار تابع $ y= x- \sqrt{x}+2 $ کدام است؟ و پاسخ آن را $ \frac{7}{4} $ داده‌است.

آیا این اصلا تابع است؟ آیا تابع درجهٔ دو است؟ چطور به جواب برسیم؟

ویرایشگر: پرسش‌کننده در بخش مرجع نوشته بوده‌است «Iq ریاضی دهم»، اگر مشخصات دقیق کتاب مربوط را می‌دانید لطفا بیفزائید.

Comments

تایپ سوال ویرایش شد

Answer 1

اگر ضابطه را به صورت زیر بنویسیم

$$y=( \sqrt{x}- \frac{1}{2})^{2}+ \frac{7}{4} $$

آنگاه می‌بینیم که وقتی مینیمم خواهد شد که $ \sqrt{x}- \frac{1}{2}=0 $ لذا در نقطهٔ $x= \frac{1}{4}$ مقدارِ تابع کمترین خواهدشد و این مقدار برابر با $y=\frac{7}{4}$ است.

Answer 2

در مورد سوال اول شما که آیا این تابع، درجه دوم است یا خیر: خیر. این تابع درجه دوم نیست. چرا که بزرگترین توان متغیر آن یک است. اما یک تابع است.

برای یافتن مقدار مینیمم و ماکسیمم می تونید مشتق تابع را پیدا کرده و برابر با صفر قرار دهید. پس ابتدا مشتق تابع رو می گیریم. مشتق = $1- \frac{1}{2 \sqrt{x} } $

حالا اگر مشتق رو برابر با صفر بگیرید طول نقطه ای که درش تابع اکسترمم (مینیمم یا ماکسیمم ) داره پیدا می شه

$1- \frac{1}{2 \sqrt{x} } =0 \Longrightarrow 1= \frac{1}{2 \sqrt{x} } $

طرفین وسطین می کنیم

$ 2 \sqrt{x} = 1 \Longrightarrow \sqrt{x}= \frac{1}{2} \Longrightarrow x= \frac{1}{4} $

باید توجه داشته باشی که این طول نقطه مد نظرته. حالا باید این مقدار رو (یعنی $x= \frac{1}{4}$ در تابع جایگذاری کنی تا مقدار تابع (y) رو در این نقطه به دست بیاری. اگر بخوای در مورد مینیمم یا ماکسیمم بودنش هم اطمینان پیدا کنی می تونی جدول تعیین علامت رو تشکیل بدی.

$f( \frac{1}{4} )= \frac{1}{4} - \sqrt{\frac{1}{4}} +2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{1-2+8}{4} = \frac{7}{4} $

Comments

حال اگر کسی مبحث مشتق را بلد نباشد چگونه می‌توان به او تابع بودن این عبارت را توضیح داد؟

---

برای بررسی تابع بودن این رابطه نیازی به مشتق نداریم. گرچه اصلا بررسی تابع بودن در سوال درخواست نشده.
بررسی تابع بودن روش ساده تری نسبت به مشتق داره که اگر مورد سوال بود در یک سوال جدید بپرسید تا دوستان راهنمایی کنند.
استفاده از مشتق برای پیدا کردن نقاط اکسترمم هست. که البته به نظرم اون رو هم می شه بدون مشتق توضیح داد