سلام.
قرار دهید:
$ \sqrt[3]{ x+1 }=a, \sqrt[3]{ x-1 }=b $
با این تعریف:
$f(x)= \frac{1}{a^2+ab+b^2}= \frac{a-b}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}= \frac{a-b}{a^3-b^3} = \frac{a-b}{(x+1)-(x-1)}
= \frac{1}{2}( \sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x-1})$
$ \Rightarrow f(1)+f(3)+...+f(2n+1)= \sum _{k=0}^n f(2k+1)$
$= \sum_{k=0}^n \frac{1}{2} ( \sqrt[3]{2k+2} - \sqrt[3]{2k})$
$= \frac{1}{2} ( \sqrt[3]{2n} - \sqrt[3]{2 \times 0} )
= \frac{1}{2}\sqrt[3]{2n} $
$ \Rightarrow f(1)+f(3)+...+f(215)= \frac{1}{2}\sqrt[3]{214}$
$ \Box $
