Question

در صورتی که x عدد صحیح مثبت باشدو داشته باشیم: $f(x)= \frac{1}{ \sqrt[3]{ x^{2}+2x+1 } +\sqrt[3]{ x^{2} -1} + \sqrt[3]{ x^{2} -2x+1} } $ مطلوب است:f(1)+f(۳)+f(۵)+...+f(215)=؟

Answer 1

سلام. قرار دهید:

$ \sqrt[3]{ x+1 }=a, \sqrt[3]{ x-1 }=b $

با این تعریف:

$f(x)= \frac{1}{a^2+ab+b^2}= \frac{a-b}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}= \frac{a-b}{a^3-b^3} = \frac{a-b}{(x+1)-(x-1)} = \frac{1}{2}( \sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x-1})$

$ \Rightarrow f(1)+f(3)+...+f(2n+1)= \sum _{k=0}^n f(2k+1)$

$= \sum_{k=0}^n \frac{1}{2} ( \sqrt[3]{2k+2} - \sqrt[3]{2k})$

$= \frac{1}{2} ( \sqrt[3]{2n} - \sqrt[3]{2 \times 0} ) = \frac{1}{2}\sqrt[3]{2n} $

$ \Rightarrow f(1)+f(3)+...+f(215)= \frac{1}{2}\sqrt[3]{214}$

$ \Box $