ترکیب (آمار و احتمال)

Question

از بین ۸ نفر میخواهیم ۵ نفر را برای شرکت در یک مهمانی انتخاب کنیم به چند روش میتوان آن ها را انتخاب کرد؟به طوری که: الف)۲ نفر از آن ها نخواهند با هم باشند ب)۲ نفر بخواهند با هم باشند ج)۳ نفر بخواهند با هم باشند

Answer 1

فضای نمونه را $S$ بگیرید واضح است که $n(S)= \binom{8}{5} $.

برای الف پیشامد $A_1$ را حالتی بگیرید که شخص $a$ انتخاب شود . پیشامد $A_2$ را حالتی بگیرید که شخص $b$ انتخاب شود و $a$ و $b$ همان دو شخص اند که نمی خواهند باهم باشند پس جواب عبارت است از:

$p(A_1 \cap A_2' ) \cup (A_1' \cap A_2)=p(A_1 \cap A_2' ) + A_1' \cap A_2) -p(A_1 \cap A_2' ) \cap (A_1' \cap A_2)$

$= \frac{ \binom{1}{1} \binom{6}{4} }{ \binom{8}{5} } + \frac{ \binom{6}{4} \binom{1}{1} }{ \binom{8}{5} } -P( \phi )=2\frac{ \binom{1}{1} \binom{6}{4} }{ \binom{8}{5} }-0=2\frac{ \binom{1}{1} \binom{6}{4} }{ \binom{8}{5} }$

برای ب فرض کنید $B_1$ پیشامد این باشد دو فرد $a$ و $b$ انتخاب شوند و $B_2$ پیشامد این باشد که نه شخص $a$ انتخاب شود نه شخص $b$ پس جواب عبارتست از:

$p(B_1 \cup B_2)=p(B_1)+p(B_2)-p(B_1 \cap B_2)= \frac{ \binom{2}{2} \binom{6}{3} }{ \binom{8}{5} } + \frac{ \binom{6}{5}}{ \binom{8}{5} } -P( \phi )=\frac{ \binom{2}{2} \binom{6}{3} }{ \binom{8}{5} } + \frac{ \binom{6}{5}}{ \binom{8}{5} }-0$

$=\frac{ \binom{2}{2} \binom{6}{3} }{ \binom{8}{5} } + \frac{ \binom{6}{5}}{ \binom{8}{5} }$

برای ج مشابه ب عمل می شود که اگر پیشامد مورد نظر را $C$ بنامیم داریم:

$p(C)=\frac{ \binom{3}{3} \binom{5}{2} }{ \binom{8}{5} } + \frac{ \binom{5}{5}}{ \binom{8}{5} }$

$ \Box $