ریاضی دوازدهم انسانی

Question

با ارقام: ۰و ۱و۲و۴و۵ بدون تکرار ارقام چند عدد چهار رقمی زوج میتوان نوشت؟

چند عدد سه رقمی میتوان نوشت؟

Answer 1

با توجه به اینکه در اعداد چهار رقمی رقم هزارگان نباید صفر باشد همه اعداد چهار رقمی بدون تکرار بنابه اصل ضرب برابر است با:

$4 \times 4 \times 3 \times \times 2=96$

حالا اگر تعداد اعداد فرد (بدون تکرار ارقام ) را در نظر بگیریم با توجه به اینکه یکان $1$ یا $5$ است،این تعداد برابر است با:

$3 \times 3 \times 2 \times 1+3 \times 3 \times 2 \times 1=36$

پس تعداد اعداد زوج برابر است با:

$96-36=60$

تعداد اعداد سه رقمی بدون تکرار ارقام برابر است با:

$4 \times 4 \times 3=48$

تعداد ارقام فرد از این تعداد برابر است با:

$3 \times 3 \star 1+3 \times 3 \times 1=18$

لذا تعداد اعداد زوج از این تعداد برابر است با:

$48-18=30$

$ \Box $

Answer 2

به‌نام خداوند بخشنده و مهربان

پاسخ:‌ سوال دو بخش دارد که به‌صورت مجزا هر کدام را را جواب می‌دهم.

بخش اول: برای بخش اول پرسش شما می‌توان تعداد حالت‌های مختلف بدون تکرار ارقام را با محاسبه‌ی جایگشت‌های مختلف بدست آورد. از آن‌جا که عدد صفر بین اعداد وجود دارد و با توجه به اینکه سوال تعداد عددهای زوج را از ما خواسته است پس دو جایشگت در نظر می‌گیریم و در نهایت با استفاده از اصل جمع حاصل را بدست می‌آوریم.

حالت اول: فرض می‌کنیم صفر در یکان باشد، پس برای رقم اول 4 حالت، رقم دوم 3 حالت، رقم سوم 2 حالت خواهیم داشت. که در مجموع 24 حالت می‌شود.

حالت دوم: در یکان اعداد 2 یا 4 را داشته باشیم. با توجه به این‌که صفر نمی‌تواند رقم اول باشد، برای رقم اول 3 حالت، رقم دوم نیز 3 حالت (چون صفر می‌تواند از رقم دوم به بعد باشد) رقم سوم 2 حالت که در نهایت می‌شود 36 حالت.

مجموع حالت‌های اول و دوم پاسخ قسمت اول سوال شما است که برابر است با: $36+24=60$.

بخش دوم: چون در این بخش دیگر نیازی به زوج بودن عدد خواسته شده نیست، به راحتی در یک حالت می‌توان جایگشت‌های مختلف را حساب کرد. به‌این صورت که رقم اول 4 حالت، رقم دوم 4 حالت (بخاطر عدد صفر) رقم سوم هم 3 حالت که در مجموع 48 حالت خواهیم داشت.