چرا همچین اتفاقی می افتد؟

Question

$2^a - 2^b = 2016$

فاکتور گیری :

$2^a(1-2^{b-a})=2^5 ×63 $

فرض میکنیم :

$2^5=2^a$

درنتیجه داریم :

$1-2^{b-a} = 63$

حالا اگر فقط سمت چپ معادله رو در منفی ضرب کنیم و حل معادله رو ادامه بدیم

$2^{b-5}= 64 =2^6 \Rightarrow b-5=6 \Rightarrow b=11$

حالا اگه جای آ و بی رو که بدست آوردیم عوض کنیم طبق معادله اولیه

$2^{11} - 2^5 = 2016 $

میشه بجای $2016$ عدد های دلخواه دیگه ای هم توی معادله گذاشت و با ماشین حساب حساب کرد یا حتی برای عدد های دیگه که پایه توان فرق میکنه هم صادق هست ولی چرا این اتفاق می افته و با نتیجه ای که میگیرم در معادله صادق هستش

Comments

@erfan29er عنوان سوال تان اصلا بیانگر سوال نیست. در ضمن با مراجعه به راهنمای سایت تایپ ریاضی را یاد بگیرید

Answer 1

اولن صورت سوال مشخص نیست که چی میخواد.در ضمن من تایپ سوال را درست کردم.فرض می کنیم که جوابهای صحیح را می خواد.واضح است که باید $a \geq b$.

$2^a-2^b=2016 \Rightarrow 2^b(2^{a-b}-1)=2^5 \times 63$

حالا چون $2^{a-b}-1$ فرد است یا صفر ( صفر که نیست) پس داریم:

$b=5,2^{a-b}-1=63 \Rightarrow 2^{a-b}=1+63=64=2^6 \Rightarrow a-b=6$

$\Rightarrow a=b+6=5+6=11 \Rightarrow (a,b)=(11,5)$

$ \Box $