چطوری میشه این لگاریتم رو حل کرد

Question

اگر

$f(x)=1-2log(x-1) $

آنگاه کمترین مقدار تابع زیر کدام است ؟

$y=f^{-1} (x) + f^{-1} (-x)$

وارون تابع $f$ به صورت زیر می‌شود

$10^{ \frac{1}{2} }(1–x) + 1 = y$

Answer 1

اگر به دقت به ساختار تابع لگاریتمی و نمایی توجه کنیم واضح است که:

$,R_f=R=D_{f^{-1}},D_f=(1,+ \infty )=R_{f^{-1}}$.

حالا معکوس تابع:

$y=1-2Log(x-1) \Rightarrow 2Log(x-1)=1-y \Rightarrow Log(x-1)= \frac{1}{2} (1-y)$

$\Rightarrow x-1=10^{ \frac{1}{2} (1-y)} \Rightarrow x=10^{ \frac{1}{2} (1-y)}+1 \Rightarrow f^{-1}(x)=10^{ \frac{1}{2} (1-x)}$

با کمی دقت و حوصله می توان نشان داد که اگر $g=f+fo(-I)$ (تابع ارائه شده در مسأله) آنگاه:

$D_g=R$

$g(x)=10^{ \frac{1}{2} (1-x)}+10^{ \frac{1}{2} (1+x)}=10^ \frac{1}{2} (10^{-x}+10^x)$

حالا اگر از این نامساوی:

$ \forall a>0:a+ \frac{1}{a}\geq 2$

استفاده کنیم نتیجه می شود که:

$g(x) \geq 2 \times 10^ \frac{1}{2}$

حلا چون$g(x) \geq 2 \times 10^ \frac{1}{2} $ و $g(0)=2 \times 10^ \frac{1}{2}$ بنابراین:

$Min g=2 \times 10^ \frac{1}{2}$

$ \Box $