روش میانگین معکوس، یک روش عددی برای بدست آوردن نقاط اکسترم یک تابع است. این روش بر پایهی تعمیمی از قضیهی بولزانو-کوچی توسعه داده شده است.
برای اثبات این روش، ابتدا باید به یاد داشته باشیم که نقاط اکسترم توابع، نقاطی هستند که تابع مشتق آنها صفر میشود. اگر یک تابع دو بار قابل تفریق باشد، میتوانیم با استفاده از مشتق دوم تابع، مشخص کنیم که آیا نقطهی اکسترم یک نقطهی بیشینه یا کمینه است. اگر مشتق دوم تابع در نقطهی مورد نظر مثبت باشد، آن نقطهی یک نقطهی کمینه است. در صورتی که مشتق دوم تابع در نقطهی مورد نظر منفی باشد، آن نقطهی یک نقطهی بیشینه است.
اگر تابع مورد نظر دو بار قابل تفریق نباشد، میتوانیم از روش میانگین معکوس استفاده کنیم. برای این کار، ابتدا یک بازهی معین انتخاب میکنیم که در آن نقاط اکسترم وجود دارند. سپس، نیمهی معکوس از مجموع مقادیر تابع در دو نقطهی انتهایی بازهی معین را به دست میآوریم. سپس، نیمهی معکوس از مجموع مقادیر تابع در نقاط میانی دو بازهی مجاور را به دست میآوریم. اگر این دو مقدار با یکدیگر برابر باشند، یک نقطهی اکسترم وجود دارد در بازهی معین. اگر این دو مقدار با هم متفاوت باشند، بازهی معین را به دو قسمت تقسیم کرده اگر مقدار تابع در نیمهی اول بازهی مورد نظر بیشتر از مقدار میانگین معکوس باشد، باید نقطهی اکسترم در نیمهی اول بازه باشد. به همین ترتیب، اگر مقدار تابع در نیمهی دوم بازهی مورد نظر بیشتر باشد، باید نقطهی اکسترم در نیمهی دوم بازه باشد.
در هر دو حالت، با استفاده از همین روش تقسیم دوباره، بازهی محتمل برای نقطهی اکسترم را کاهش میدهیم تا به نقطهی دقیقتری برسیم. این روش تکرار میشود تا دقت کافی به دست آید و نقطهی اکسترم با دقت لازم بیابیم.
