برای یافتن اکسترمم ها از تابع مشتق میگیریم.
$$ y = x^3 - (m+2)x^2 + 3x $$
$$ y' = 3x^2 - (2m + 4)x + 3 $$
از آنجایی که ریشه های مشتق نقاط اکسترمم خواهند بود پس مشتق حتما دارای دو ریشه است. پس می توان گفت که $ \Delta > 0 $ پس :
$$ 4m^2 + 16m - 20 > 0 $$
با حل این نامعادله برای m دو بازه بدست می آید:
$$ m>1 , m < -5 $$
می دانیم در معادلات $ax^2 + bx + c = 0$ مجموع دو ریشه معادله برابر با $-\frac{b}{a}$ است. پس در این معادله مجموع ریشه ها برابر با $\frac{2m+4}{3}$ است.این مقدار را با توجه به بازه هایی که برای m بدست آوردیم تعیین می کنیم.
$$ m > 1 $$
$$ 2m + 4 > 6 $$
$$ \frac{2m+4}{3} > 2 $$
و برای بازه دیگر هم می توان نوشت:
$$ m < -5 $$
$$ 2m + 4 < -6 $$
$$ \frac{2m+4}{3} < -2 $$
پس مجموع طول نقاط اکسترمم در محدوده $[-2, 2]$ نخواهد بود.
