به نام خدا
با توجه به محدودیتی ($x^2 +y^2 =1$) که برای تابع گذاشته شده، منظور یافتن اکسترمم های مطلق تابع هست.
روش لاگرانژ :
برای یافتن اکسترمم های مطلق تابع$f(x,y)=x+y$ تحت قید $g(x,y)=x^2 +y^2 -1=0$ کافیه دستگاه زیر را حل کنیم:
$ \nabla f= \lambda . \nabla g $
$ \ ,g=0 $
در دستگاه بالا، $ \lambda $ ضریب لاگرانژ است.
پس:
$\nabla f= \lambda . \nabla g \rightarrow $
$( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} )= \lambda . ( \frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y} )$$ \rightarrow (1,1)= \lambda .(2x,2y) \rightarrow $
$2\lambda x=1\rightarrow x=\frac{1}{2\lambda }$
$, 2\lambda y=1 \rightarrow y=\frac{1}{2y} $
حالا $y وx$ را در قید یعنی $g(x,y)=0$ قرار داده تا $ \lambda $ پیدا شود:
$(\frac{1}{2 \lambda })^2 +(\frac{1}{2 \lambda })^2 -1=0 \rightarrow $
$\frac{1}{4 \lambda ^2} +\frac{1}{4 \lambda^2 }=1 \rightarrow 1+1=4 \lambda^2 \rightarrow $
$ \lambda = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
حال با توجه به دو مقدار برای $ \lambda $، بطور جداگانه برای هر $ \lambda $ مقدارهای $xوy$ را یافته و در $f$جاگذاری کرده، هر کدام بیشتر شود ماکزیمم و دیگری مینیمم مطلق می باشد، پس:
$ \lambda =-\frac{\sqrt{2}}{2} \rightarrow$
$x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$
$,y=-\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\rightarrow$$f(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})=-\frac{1}{\sqrt{2}}+(-\frac{1}{\sqrt{2}})=-\frac{2}{\sqrt{2}}$
و
$ \lambda =\frac{\sqrt{2}}{2} \rightarrow$
$x=\frac{1}{\sqrt{2}} $
$,y=\frac{1}{\sqrt{2}} $
$\rightarrow$$f(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{\sqrt{2}}+(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{2}{\sqrt{2}}$
در نهایت:
$Max(f)=\frac{2}{\sqrt{2}}$
$,min(f)=-\frac{2}{\sqrt{2}}$
