به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
918 بازدید
در دانشگاه توسط Y.F (8 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

اکسترمم‌های تابع $f(x,y)=x+y$ را بر روی دایرهٔ $x^2+y^2=1$ بیابید.

ویرایشگر: پرسش‌کننده متن بیشتری وارد نکرده‌است.

توسط m.t.riazi (399 امتیاز)
+2
@Y.F
مشکل تون دقیقاً کدوم بخش از حل این سواله؟
تلاش و یا مشکل تون رو بنویسید.
توسط Y.F (8 امتیاز)
–1
سلام.نمیتونم مشکلمو بخاطر محاسباتش تایپ کنم.تازه وارد هستم اینجا.اگه امکان داره تو راه حل کمکم کنید تا از روش با بررسی راه حل خودم  بتونم اشتباهمو تشخیص بدم.تشکر
توسط good4us (7,308 امتیاز)
+2
@Y.F قسمتی از متن سوال رو به شکل صحیح تایپ کردم ملاحظه کنید و قسمت تایپ ریاضی در سایت را مطالعه کنید
توسط AmirHosein (19,582 امتیاز)
+1
@Y.F «ریاضی عمومی ۲» اسم درس است نه یک کتاب یا اثر نشر شده که به آن رجوع کرد. اگر مرجع (چیزی که به آن بتوان رجوع کرد) ندارید، بخش مرجع را خالی بگذارید. اگر می‌خواهید تأکید کنید که در درس ریاضی عمومی ۲ این سوال را دیدید در همان متن پرسش بیفزائید نه در بخش مرجع.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط m.t.riazi (399 امتیاز)
انتخاب شده توسط Y.F
 
بهترین پاسخ

به نام خدا

با توجه به محدودیتی ($x^2 +y^2 =1$) که برای تابع گذاشته شده، منظور یافتن اکسترمم های مطلق تابع هست.

روش لاگرانژ :

برای یافتن اکسترمم های مطلق تابع$f(x,y)=x+y$ تحت قید $g(x,y)=x^2 +y^2 -1=0$ کافیه دستگاه زیر را حل کنیم:

$ \nabla f= \lambda . \nabla g $

$ \ ,g=0 $

در دستگاه بالا، $ \lambda $ ضریب لاگرانژ است. پس:

$\nabla f= \lambda . \nabla g \rightarrow $ $( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} )= \lambda . ( \frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y} )$$ \rightarrow (1,1)= \lambda .(2x,2y) \rightarrow $ $2\lambda x=1\rightarrow x=\frac{1}{2\lambda }$

$, 2\lambda y=1 \rightarrow y=\frac{1}{2y} $

حالا $y وx$ را در قید یعنی $g(x,y)=0$ قرار داده تا $ \lambda $ پیدا شود:

$(\frac{1}{2 \lambda })^2 +(\frac{1}{2 \lambda })^2 -1=0 \rightarrow $ $\frac{1}{4 \lambda ^2} +\frac{1}{4 \lambda^2 }=1 \rightarrow 1+1=4 \lambda^2 \rightarrow $ $ \lambda = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

حال با توجه به دو مقدار برای $ \lambda $، بطور جداگانه برای هر $ \lambda $ مقدارهای $xوy$ را یافته و در $f$جاگذاری کرده، هر کدام بیشتر شود ماکزیمم و دیگری مینیمم مطلق می باشد، پس:

$ \lambda =-\frac{\sqrt{2}}{2} \rightarrow$

$x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ $,y=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\rightarrow$$f(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})=-\frac{1}{\sqrt{2}}+(-\frac{1}{\sqrt{2}})=-\frac{2}{\sqrt{2}}$

و

$ \lambda =\frac{\sqrt{2}}{2} \rightarrow$

$x=\frac{1}{\sqrt{2}} $ $,y=\frac{1}{\sqrt{2}} $

$\rightarrow$$f(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{\sqrt{2}}+(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{2}{\sqrt{2}}$

در نهایت:

$Max(f)=\frac{2}{\sqrt{2}}$

$,min(f)=-\frac{2}{\sqrt{2}}$

توسط Y.F (8 امتیاز)
+1
بسیار سپاس از راهنمایی تون
توسط m.t.riazi (399 امتیاز)
@Y.F
موفق باشید.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...