به نام خدا
با توجه به محدودیتی ($x^2 +y^2 =1$) که برای تابع گذاشته شده، منظور یافتن اکسترمم های مطلق تابع هست.
روش لاگرانژ :
برای یافتن اکسترمم های مطلق تابع$f(x,y)=x+y$ تحت قید $g(x,y)=x^2 +y^2 -1=0$ کافیه دستگاه زیر را حل کنیم:
$ \nabla f= \lambda . \nabla g $
$ \\ ,g=0 $
در دستگاه بالا، $ \lambda $ ضریب لاگرانژ است.
پس:
$\nabla f= \lambda . \nabla g \rightarrow $
$( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} )= \lambda . ( \frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y} )%%MATH_DISPLAY_0%%f(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})=-\frac{1}{\sqrt{2}}+(-\frac{1}{\sqrt{2}})=-\frac{2}{\sqrt{2}}$
و
$ \lambda =\frac{\sqrt{2}}{2} \rightarrow$
$x=\frac{1}{\sqrt{2}} $
$,y=\frac{1}{\sqrt{2}} $
$\rightarrow$$f(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{\sqrt{2}}+(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{2}{\sqrt{2}}$
در نهایت:
$Max(f)=\frac{2}{\sqrt{2}}$
$,min(f)=-\frac{2}{\sqrt{2}}$
