از ترکیب تساویها داریم:
$(a+b)(a+c)(b+c)=60 \Rightarrow(6-c)(6-b)(6-a)=60$
$\Rightarrow (6-c)(6^2-6(a+b)+ab)=60$
$ \Rightarrow 6^3-6^2(a+b)+6ab-6^2c+6(ac+bc)-abc=60$
$\Rightarrow 6^3-6^2(a+b+c)+6(ab+ac+bc)-abc=60$
$\Rightarrow 6^3-6^3+6(ab+ac+bc)-6=60 \Rightarrow ab+ac+bc=11$
حالا اگر $a,b,c$ را ریشه های معادله ای درجه $3$ با مجهول (متغیر) $x$ بگیریم داریم:
$(x-a)(x-b)(x-c)=0 \Rightarrow x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc=0$
$ \Rightarrow x^3-6x^2+11x-6=0$
حالا توجه داریم که $1-6+11-6=0$ یعنی مجموع ضرایب $0$ است پس یکی از ریشه ها $1$ است و معادله بر $x-1$ بخش پذیر است:
$(x-1)(x^2-5x+6)=0 \Rightarrow (x-1)(x-2)(x-3)=0$
پس ریشه ها عبارتند از $3,2,1$.حالا چون معادلات اولیه هرسه نسبت به $c,b,a$ متقارن اند پس هر جایگش $3,2,1$ یک جواب مسأله است.یعنی مسأله $6$ جواب دارد.
$ \Box $
