$an ^{2} $ در دنباله حسابی

Question

$ $ آیا در صورت وجود $an ^{2} $ در یک دنباله ی حسابی، $a $ برابر صفر است؟ چرا؟ لطفا توضیح دهید. با تشکر. سوال کامل اینه: جملات دو دنباله ی حسابی $ {bn - 1 } $ و $ {an ^{2} - 2n +3} $ را به ترتیب با هم جمع کرده ایم . اگر جمله ی هفتم دنباله ی جدید $ 2 $ باشد. $ b $ کدام است؟

1. $2 $
2. $-2 $
3. $ 1 $
4. $ -1 $

Comments

متاسفانه سوالتون واضح نیست. میشه لطفا ویرایش کنید و بیشتر توضیح بدید؟

Answer 1

جواب سوالی رو که پرسیدین در حل مسئله پیداست.

چون دنباله ها حسابی هستند، لذا باید تفاضل جمله اول و دوم و تفاضل جمله دوم و سوم با هم برابر باشند(برابر قدر نسبت). لذا داریم:

$$ bn-1 :\begin{cases}b-1 & n=1 \\2b-1 &n=2\end{cases} \\ \longrightarrow d_{1} = b $$ $$ an^{2} -2n+3 :\begin{cases}a+1 & n=1\\4a-1 & n=2 \\9a-3 & n=3\end{cases} \\ \longrightarrow d_{2} = a_{3}- a_{2} = a_{2}-a_{1} $$

$$ 5a-2=3a-2 \longrightarrow a=0$$ اما قدر نسبت دنباله جدید، که مجموع دو دنباله قبلی است برابر است با

$$d=d_{1} + d_{2}$$ .

لذا داریم: $$ 2= (b-1+1) + 6d = b+6(b-2) \longrightarrow b=2$$ .

Comments

این قسمت آخر رو هم یکم بیشتر توضیح میدید. اون 6d از کجا اومد.

---

دنباله حسابی به صورت $a_n=a_1+(n-1)d$ هست.$a_1$ جمله اول دنباله جدید است. جمله اول دنباله $bn-1$ برابر $b-1$ و جمله اول $-2n+3$ برابر $1$ است. پس جمله اول دنباله جدید $a_1=b-1+1$. و بنابر فرض $a_7=2$
و $a_7=a_1+(7-1)d=(b-1+1)+6d$ و توجه کنید که $d=d_1+d_2$ که $d_1=b$ و $d_2=5a-2=5\times 0-2=-2$ یعنی $d=b-2$