$an ^{2}$ در دنباله حسابی

Question

آیا در صورت وجود $an ^{2}$ در یک دنباله ی حسابی، $a$ برابر صفر است؟ چرا؟ لطفا توضیح دهید. با تشکر. سوال کامل اینه: جملات دو دنباله ی حسابی ${bn - 1 }$ و ${an ^{2} - 2n +3}$ را به ترتیب با هم جمع کرده ایم . اگر جمله ی هفتم دنباله ی جدید $2$ باشد. $b$ کدام است؟

1. $2$
2. $-2$
3. $1$
4. $-1$

Comments

متاسفانه سوالتون واضح نیست. میشه لطفا ویرایش کنید و بیشتر توضیح بدید؟

Answer 1

جواب سوالی رو که پرسیدین در حل مسئله پیداست.

چون دنباله ها حسابی هستند، لذا باید تفاضل جمله اول و دوم و تفاضل جمله دوم و سوم با هم برابر باشند(برابر قدر نسبت). لذا داریم:

$$bn-1 :\begin{cases}b-1 & n=1 \\2b-1 &n=2\end{cases} \\ \longrightarrow d_{1} = b$$ $$an^{2} -2n+3 :\begin{cases}a+1 & n=1\\4a-1 & n=2 \\9a-3 & n=3\end{cases} \\ \longrightarrow d_{2} = a_{3}- a_{2} = a_{2}-a_{1}$$

$$5a-2=3a-2 \longrightarrow a=0$$ اما قدر نسبت دنباله جدید، که مجموع دو دنباله قبلی است برابر است با

$$d=d_{1} + d_{2}$$ .

لذا داریم:

$$2= (b-1+1) + 6d = b+6(b-2) \longrightarrow b=2$$ .

Comments

این قسمت آخر رو هم یکم بیشتر توضیح میدید. اون 6d از کجا اومد.

---

دنباله حسابی به صورت $a_n=a_1+(n-1)d$ هست.$a_1$ جمله اول دنباله جدید است. جمله اول دنباله $bn-1$ برابر $b-1$ و جمله اول $-2n+3$ برابر $1$ است. پس جمله اول دنباله جدید $a_1=b-1+1$. و بنابر فرض $a_7=2$
و $a_7=a_1+(7-1)d=(b-1+1)+6d$ و توجه کنید که $d=d_1+d_2$ که $d_1=b$ و $d_2=5a-2=5\times 0-2=-2$ یعنی $d=b-2$