به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
1,679 بازدید
در دبیرستان توسط pulp
ویرایش شده توسط fardina

بیست جمله ی اول دنباله حسابی، به جمله ی اول $ a _{1} = 3 $ و قدر نسبت $ d _{1} = 2 $ با بیست جمله ی اول دنباله ی حسابی، به جمله ی اول $ b _{1} = 2 $ و قدر نسبت $ d _{2} = 3 $ ، چند جمله ی مساوی دارند؟

لطفا توضیح دهید. با تشکر فراوان.

توسط fardina
+2
اگه جمله های عمومی دو دنباله رو به دست بیارید و برابر قرار بدید به جواب نمی رسید؟
توسط jafar
+2
اگه بنویسیم که راحت بدست میاد و این هیچ سخت نیست .
اما درحالت کلی جواب به این صورت هست وگرنه نوشتن این جملات و دیدن اینکه چندتای آنها برابرند که سادست
توسط fardina
+2
حقیقتش سیاست سایت بیشتر بر اینه که سوال کننده رو راهنمایی کنیم تا خودش بالاخره به جواب نهایی برسه و لذت حل مساله رو ازش نگیریم. به همین خاطر این کامنتو گذاشتم که خودش دست به قلم بشه و در هر قدمی که نتونست جلو بره باز هم کمک کنم تا بالاخره به جواب برسه. البته در سوالاتی که تکنیکی هستن جواب کامل خیلی ارزشمنده. در هرصورت خیلی ممنون از جواب زیباتون.
توسط jafar
+2
ببخشید حق باشماست!!!!

2 پاسخ

+3 امتیاز
توسط jafar
ویرایش شده توسط fardina

می دانیم که فرمول جمله عمومی یک دنباله حسابی با جمله اول $ a_{1} $ و قدر نسبت $ d $ به صورت زیر است $$ a_{n}= a_{1}+(n-1) d $$ بنابراین فرمول جمله عمومی این دو دنباله که با $ a_{m}$ و $a_{n} $ نامگذاری می کنیم به صورت زیر است $$ a_{n} = 3 + (n-1) 2 = 3 + 2n -2=2n+1 $$
و $$ a_{m} = 2 + (m-1) 3 = 2 + 3m -3=3m-1 $$

حال اگر قرار باشه که یکی از جملات این دو دنباله باهم برابر باشد باید داشته باشیم $a_{m} =a_{n} $ لذا داریم $$ a_{m} =a_{n} \Rightarrow 3m-1=2n+1 \Rightarrow 3m=2n+2 $$

برای حل این معادله که جوابهای زیادی دارد باید (البته بیشتر کارهای ریاضی گسسته است) یکی متغیرها را بر حسب دیگری بنویسیم یعنی $$3m=2n+2 \Rightarrow m= \frac{2n+2}{3} $$

اما برای اینکه این $ m $ جواب داشته باشد باید عددی صحیح باشد یعنی $ m \in z $ لذا برای $ k \in z $ $$ \frac{2n+2}{3} = k \Rightarrow 2n+2=3k \Rightarrow n= \frac{3k-2}{2} = 3 \frac{k}{2} -1$$ پس برای اینکه $n $ عددی صحیح شود باید $ \frac{k}{2} $ صحیح باشد واین یعنی $k $ مضرب 2 باشد بعلاوه تعداد جملات خواسته شده دنباله 20 تا است لذا باید $ 1 \leq n \leq 20 $ و برای حل داریم که $$ 1 \leq \frac{3k-2}{2} \leq 20 \Rightarrow 2\leq 3k-2 \leq 40 \Rightarrow 4\leq 3k \leq 42 $$ $$ \Rightarrow \frac{4}{3} \leq k \leq \frac{44}{3} $$ بنابراین اعداد صحیحی که در این رابطه صدق کند به صورت $$ k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 ,14 $$ است. اما ما دربالا گفتیم که باید $ k $ عددی زوج باشد بنابراین $$ k=2,4,6,8,10,12,14 $$ یعنی 7 جمله برابر دارند و با قراردادن مقادیر $ k $ جملاتی که باهم برابر هستند نیز بدست می آید .

توسط erfanm
خیلی زیبا نوشتی دست خوش
+3 امتیاز
توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7

ابتدا با اين نكته شروع ميكنيم..

جملات مشترك دنباله هاي حسابي $( a_{n} , b_{n}) $يك دنباله ي حسابي جديدي به نام $( c_{n} )$ ايجاد ميكنند كه قدر نسبت $( c_{n} )$ك م م قدر نسبت هاي $( a_{n} , b_{n})$ميباشد.

حال سوال را حل ميكنيم. $$ a_{n} =3,5,7,... a_{20} \rightarrow a_{n}=2n+1 \Rightarrow a_{n}=3,5,7,...41 $$

$$ b_{n} =2,5,8,...b_{20} \rightarrow b_{n} =3n-1 \Rightarrow b_{n} =2,5,8,...59$$

حال بايد $( c_{n} )$ را پيدا كنيم كه از جملات مشترك$( a_{n},b_{n} )$درست شده است. براي اينكار داريم..

$$ c_{n} =\begin{cases}c_{1} =5 & \d=[2,3] =6& \end{cases} \rightarrow c_{n} =5,11,17,... \Rightarrow c_{n} =6n-1$$

از اونجايي كه دنباله ي$( c_{n} )$از جملات مشترك$( a_{n} , b_{n} )$تشكيل شده است پس آخرين جمله ي $ (c_{n} )$بايد از آخرين جمله ي(جمله ي بيستم) $( a_{n} , b_{n} )$كوچكتر يا مساوي باشد يعني:

$$5 \leq c_{n} \leq 41\Rightarrow 5 \leq 6n-1 \leq 41 $$

$$1 \leq n \leq 7$$

بنابراين تعداد جملات $ c_{n} $برابر است با$(7)$$ \Leftarrow $ $(7)$جمله ي مشترك دارند.

توسط asal4567
@saderi7
خيلي زيبا!!

سال نو مبارک!


حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...