تصاعد حسابی: برابری جمله های دو دنباله حسابی

Question

بیست جمله ی اول دنباله حسابی، به جمله ی اول $ a _{1} = 3 $ و قدر نسبت $ d _{1} = 2 $ با بیست جمله ی اول دنباله ی حسابی، به جمله ی اول $ b _{1} = 2 $ و قدر نسبت $ d _{2} = 3 $ ، چند جمله ی مساوی دارند؟

لطفا توضیح دهید. با تشکر فراوان.

Comments

اگه جمله های عمومی دو دنباله رو به دست بیارید و برابر قرار بدید به جواب نمی رسید؟

---

اگه بنویسیم که راحت بدست میاد و این هیچ سخت نیست .
اما درحالت کلی جواب به این صورت هست وگرنه نوشتن این جملات و دیدن اینکه چندتای آنها برابرند که سادست

---

حقیقتش سیاست سایت بیشتر بر اینه که سوال کننده رو راهنمایی کنیم تا خودش بالاخره به جواب نهایی برسه و لذت حل مساله رو ازش نگیریم. به همین خاطر این کامنتو گذاشتم که خودش دست به قلم بشه و در هر قدمی که نتونست جلو بره باز هم کمک کنم تا بالاخره به جواب برسه. البته در سوالاتی که تکنیکی هستن جواب کامل خیلی ارزشمنده. در هرصورت خیلی ممنون از جواب زیباتون.

---

ببخشید حق باشماست!!!!

Answer 1

می دانیم که فرمول جمله عمومی یک دنباله حسابی با جمله اول $ a_{1} $ و قدر نسبت $ d $ به صورت زیر است $$ a_{n}= a_{1}+(n-1) d $$ بنابراین فرمول جمله عمومی این دو دنباله که با $ a_{m}$ و $a_{n} $ نامگذاری می کنیم به صورت زیر است $$ a_{n} = 3 + (n-1) 2 = 3 + 2n -2=2n+1 $$
و $$ a_{m} = 2 + (m-1) 3 = 2 + 3m -3=3m-1 $$

حال اگر قرار باشه که یکی از جملات این دو دنباله باهم برابر باشد باید داشته باشیم $a_{m} =a_{n} $ لذا داریم $$ a_{m} =a_{n} \Rightarrow 3m-1=2n+1 \Rightarrow 3m=2n+2 $$

برای حل این معادله که جوابهای زیادی دارد باید (البته بیشتر کارهای ریاضی گسسته است) یکی متغیرها را بر حسب دیگری بنویسیم یعنی $$3m=2n+2 \Rightarrow m= \frac{2n+2}{3} $$

اما برای اینکه این $ m $ جواب داشته باشد باید عددی صحیح باشد یعنی $ m \in z $ لذا برای $ k \in z $ $$ \frac{2n+2}{3} = k \Rightarrow 2n+2=3k \Rightarrow n= \frac{3k-2}{2} = 3 \frac{k}{2} -1$$ پس برای اینکه $n $ عددی صحیح شود باید $ \frac{k}{2} $ صحیح باشد واین یعنی $k $ مضرب 2 باشد بعلاوه تعداد جملات خواسته شده دنباله 20 تا است لذا باید $ 1 \leq n \leq 20 $ و برای حل داریم که $$ 1 \leq \frac{3k-2}{2} \leq 20 \Rightarrow 2\leq 3k-2 \leq 40 \Rightarrow 4\leq 3k \leq 42 $$ $$ \Rightarrow \frac{4}{3} \leq k \leq \frac{44}{3} $$ بنابراین اعداد صحیحی که در این رابطه صدق کند به صورت $$ k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 ,14 $$ است. اما ما دربالا گفتیم که باید $ k $ عددی زوج باشد بنابراین $$ k=2,4,6,8,10,12,14 $$ یعنی 7 جمله برابر دارند و با قراردادن مقادیر $ k $ جملاتی که باهم برابر هستند نیز بدست می آید .

Comments

خیلی زیبا نوشتی دست خوش

Answer 2

ابتدا با اين نكته شروع ميكنيم..

جملات مشترك دنباله هاي حسابي $( a_{n} , b_{n}) $يك دنباله ي حسابي جديدي به نام $( c_{n} )$ ايجاد ميكنند كه قدر نسبت $( c_{n} )$ك م م قدر نسبت هاي $( a_{n} , b_{n})$ميباشد.

حال سوال را حل ميكنيم. $$ a_{n} =3,5,7,... a_{20} \rightarrow a_{n}=2n+1 \Rightarrow a_{n}=3,5,7,...41 $$

$$ b_{n} =2,5,8,...b_{20} \rightarrow b_{n} =3n-1 \Rightarrow b_{n} =2,5,8,...59$$

حال بايد $( c_{n} )$ را پيدا كنيم كه از جملات مشترك$( a_{n},b_{n} )$درست شده است. براي اينكار داريم..

$$ c_{n} =\begin{cases}c_{1} =5 & \d=[2,3] =6& \end{cases} \rightarrow c_{n} =5,11,17,... \Rightarrow c_{n} =6n-1$$

از اونجايي كه دنباله ي$( c_{n} )$از جملات مشترك$( a_{n} , b_{n} )$تشكيل شده است پس آخرين جمله ي $ (c_{n} )$بايد از آخرين جمله ي(جمله ي بيستم) $( a_{n} , b_{n} )$كوچكتر يا مساوي باشد يعني:

$$5 \leq c_{n} \leq 41\Rightarrow 5 \leq 6n-1 \leq 41 $$

$$1 \leq n \leq 7$$

بنابراين تعداد جملات $ c_{n} $برابر است با$(7)$$ \Leftarrow $ $(7)$جمله ي مشترك دارند.

Comments

@saderi7
خيلي زيبا!!