Question

مطلوب است محاسبه $x$ به طوری که: $ \frac{5}{12} = \frac{1}{log_2(x-2)^2} + \frac{1}{log_2(x+2)^2} $

لگاریتم ها را به نمایی تبدیل کردم.

Answer 1

$$ \frac{1}{log_2 (x-2) }+ \frac{1}{log_2(x+2)}= \frac{5}{6} \Longrightarrow log_2(x-2)=m;log_2(x+2)=n \Longrightarrow 2^{m} =x-2, 2^{n}=x+2 \Longrightarrow 2^{n} - 2^{m}=4 \Longrightarrow n=3,m=2 \Longrightarrow log_2(x-2) =2;log_2(x+2)=3 \Longrightarrow x-2=4,x+2=8 \Longrightarrow x=6 \Longrightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} $$

Comments

در انتهای سطر دوم استدلال نتیجه گیری زمانی درست است که  ام و ان اعداد حسابی باشند.با این کار یک سری جواب حذف میشن مثلن x=-6

---

عدد6-  در معادله اصلی صدق نمی‌کند.آیا در تابع لگاریتم اگر توان عبارت روبروی لگاریتم زوج، باشد عبارت روبروی لگاریتم می‌تواند منفی باشد؟

$$mlog(x)=log(x^m)$$

و m زوج

Answer 2

$ \frac{1}{Log_2^{(x-2)^2}} + \frac{1}{Log_2^{(x+2)^2}} = \frac{5}{12} \Rightarrow \frac{1}{Log_2^{(x-2)}} + \frac{1}{Log_2^{(x+2)}}= \frac{5}{6} $

حالا قرار دهید:

$a:=Log_2^{(x-2)^2},b:=Log_2^{(x+2)^2} \Rightarrow (x-2)^2=2^a,(x+2)^2=2^b$

$|x-2|=2^{a-1},|x+2|=2^{b-1}$

حالا اگر حالات علامات قدرمطلق ها را در نظر بگیریم (در حالتی که عبارات داخل قدر مطلق هم علامت اند $a=b=1$ یا یک طرف معادله به دست آمده مثبت و طرفی دیگر منفی می شود.که در هر حالت امکان ندارد.) و فرض کنیم $a$ و $b$ اعداد حسابی اند به جوابهای $x=6$ و $x=-6$ می رسیم.

حالا باید نشان دهیم این دو جواب تنها جوابهای معادله هستند.برای این کار تابع زیر را در نظر بگیرید:

$y=\frac{Log2}{Log(x-2)^2} + \frac{Log2}{Log(x+2)^2}$

نرم افزارهای پیشرفته نشان می دهد که این نمودار فقط در دو نقطه $x=6$ و $x=-6$ با خط $y= \frac{5}{12} $ تلاقی دارد.

$ \Box $