Question

مطلوب است محاسبه xy=؟:

$$ x^{2} = \sqrt[5]{2} +y, y^{2} = \sqrt[5]{2} +x,x \neq y$$ Final Solution $$xy=1- \sqrt[5]{2} $$

Answer 1

$$ x^{2} -y^{2} +x-y=0 \Longrightarrow (\underbrace{x-y \neq 0} )(x+y+1)=0 \Longrightarrow x+y+1=0 \Longrightarrow x+y=-1 \Longrightarrow x^{2} +2xy+ y^{2} =1 \Longrightarrow 2 \sqrt[5]{2} + (\underbrace{x+y=-1}) +2xy=0 \Longrightarrow xy=1- \sqrt[5]{2} $$

Comments

جواب x  مساوی y را حذف کرده اید.این حالت در سوال مطرح نشده است.

---

در عنوان مسئله نیست ولی در توضیح مسئله آمده است.

Answer 2

ایده برای حل:

$x^2= \sqrt[5]{2}+y,y^2= \sqrt[5]{2}+x \Rightarrow x^2-y=y^2-x= \sqrt[5]{2} \Rightarrow x^2+x=y^2+y$

$x^2+x+ \frac{1}{4} =y^2+y+ \frac{1}{4} \Rightarrow (x+ \frac{1}{2} )^2=(y+ \frac{1}{2} )^2 \Rightarrow \sqrt{(x+ \frac{1}{2} )^2} = \sqrt{(y+ \frac{1}{2} )^2} $

$|x+ \frac{1}{2} |=|y+ \frac{1}{2} | \Rightarrow x+ \frac{1}{2}=y+ \frac{1}{2} \vee x+ \frac{1}{2}=-y- \frac{1}{2} \Rightarrow x=y \vee x+y=-1$

به این ترتیب به معادلاتی در جه $2 $ می رسیم که قابل بحث و حل اند. حل اند.

$ \Box $