به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
26 بازدید
در دبیرستان توسط mansour (392 امتیاز)

معادله زیر را به صورت تابعی از پارامتر m حل کنید: $$ | x^{2} -1 | + | x^{2} -4 |=mx $$ کدام زوج مرتب صحیح $$(x,m)$$ در معادله صدق می‌کند؟

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (2,420 امتیاز)
انتخاب شده توسط mansour
 
بهترین پاسخ

من در اینجا از روی شکل ایده را می گویم:

تابع $y=|x^2-1|+|x^2-4|$ در بازه $[-1,1]$ به صورت $y=2x^2-5$ و در بازه $[-2,-1] \cup [1,2]$ به صورت $y=3$ و در بازه $[2,+ \infty ) \cup (- \infty ,2]$ به صورت $y=2x^2-5$ است.

حالا نقطه $(2,3)$ و $(-2,3)$ را در نظر بگیرید.معادله خطی که از مبدأ و از این نقاط می گذرد به ترتیب برابر است با $y= \frac{3}{2} x$ و $y=- \frac{3}{2} x$.

به سادگی می توان نشان داد که هر خط $y=mx$ که $0 \leq |m|< \frac{3}{2} $ نمودار تابع $y=|x^2-1|+|x^2-4|$ را قطع نمی کند.خط $y= \frac{3}{2} x$ تابع فوق را فقط در نقطۀ $(2,3)$ و خط $y=- \frac{3}{2} x$ نمودار تابع را فقط در نقطۀ $(-2,3)$ قطع می کند

و اگر $|m|> \frac{3}{2} $ آنگاه خط $y=mx$ نمودار تابع را در دو نقطه قطع می کند.بنابر این اگر $|m|< \frac{3}{2} $ معادله جواب ندارد و اگر $|m| \geq \frac{3}{2} $ معادله جواب دارد.

می توان نشان داد که $ (x,m)=(1,3) \wedge (5,9)$ در معادله صادقند.

این استدلالی شهودیست.می توان با کمی حوصله آن را به منطقی تبدیل کرد.

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...