من در اینجا از روی شکل ایده را می گویم:
تابع $y=|x^2-1|+|x^2-4|$ در بازه $[-1,1]$ به صورت $y=2x^2-5$ و در بازه $[-2,-1] \cup [1,2]$ به صورت $y=3$ و در بازه $[2,+ \infty ) \cup (- \infty ,2]$ به صورت $y=2x^2-5$ است.
حالا نقطه $(2,3)$ و $(-2,3)$ را در نظر بگیرید.معادله خطی که از مبدأ و از این نقاط می گذرد به ترتیب برابر است با $y= \frac{3}{2} x$ و $y=- \frac{3}{2} x$.
به سادگی می توان نشان داد که هر خط $y=mx$ که $0 \leq |m|< \frac{3}{2} $ نمودار تابع $y=|x^2-1|+|x^2-4|$ را قطع نمی کند.خط $y= \frac{3}{2} x$ تابع فوق را فقط در نقطۀ $(2,3)$ و خط $y=- \frac{3}{2} x$ نمودار تابع را فقط در نقطۀ $(-2,3)$ قطع می کند
و اگر $|m|> \frac{3}{2} $ آنگاه خط $y=mx$ نمودار تابع را در دو نقطه قطع می کند.بنابر این اگر $|m|< \frac{3}{2} $ معادله جواب ندارد و اگر $|m| \geq \frac{3}{2} $ معادله جواب دارد.
می توان نشان داد که $ (x,m)=(1,3) \wedge (5,9)$ در معادله صادقند.
این استدلالی شهودیست.می توان با کمی حوصله آن را به منطقی تبدیل کرد.
$ \Box $
