$ \frac{1}{sinx} + \frac{1}{cosx} =\frac{1}{p} \Rightarrow \frac{sinx+cosx}{sinx.cos} = \frac{1}{p} \Rightarrow \frac{sinx+cosx}{2sinx.cosx} = \frac{1}{2p} \Rightarrow \frac{sinx+cosx}{sin2x} = \frac{1}{2p}$
$ \Rightarrow sinx+cosx= \frac{1}{2p} sin2x (\star )\Rightarrow (sinx+cosx)^2= \frac{1}{4p^2} sin^22x$
$sin^2x+2sinx.cosx+cos^2x=\frac{1}{4p^2} sin^22x \Rightarrow 1+sin2x=\frac{1}{4p^2} sin^22x$
$\frac{1}{4p^2} sin^22x-sin2x-1=0$
حلال قرار دهید:
$y:=sin2x \Rightarrow \frac{1}{4p^2}y^2-y-1=0 \Rightarrow \triangle =(-1)^2-4 \frac{1}{4p^2} (-1)=1+ \frac{1}{p^2}= \frac{p^2+1}{p^2} $
$ \Rightarrow y=2p(p{^+_-} \sqrt{p^2+1}) $ (?)
حالا توجه شود که این جوابها باید در بازۀ $[-1,1]$ باشند.بنابر این باید $|p| \leq \frac{1}{2 \sqrt{2} } ,p \neq 0$.(چرا؟)
البته این نتیجه را در مرحله $ \star $ اثبات می توان نتیجه گرفت زیرا:
$ -\sqrt{2} \leq sinx+cosc \leq \sqrt{2} \Rightarrow - \sqrt{2} \leq \frac{1}{2p} sin2x \leq \sqrt{2} \Rightarrow |p| \leq \frac{1}{2 \sqrt{2} }$
معادله برای هر مقدار مناسب $p$ ، چهار جواب در بازۀ $[0,2 \pi )$ دارد.(چرا؟)
$ \Box $
