نابرابری زیر را ثابت کنید: $tan \frac{ \pi sinx}{2sin \alpha }+tan \frac{ \pi cosx}{4cosx } > 1$

Question

نابرابری زیر را ثابت کنید: $tan \frac{ \pi sinx}{4sin \alpha }+tan \frac{ \pi cosx}{4cos \alpha } > 1$ با شرط: $ 0 \preceq x\preceq \frac{ \pi }{۲} $و $ \frac{ \pi }{6} \preceq \ \alpha \preceq \frac{ \pi }{3} $

Answer 1

چون توابع سینوس و کسینوس و تانژانت در ناحیۀ اول به ترتیب صعودی و نزولی و صعودی اند به سادگی می توان نشان داد که:

$ \frac{1}{2} =sin \frac{ \pi }{6} =cos \frac{ \pi }{3} \leq sin \alpha ,cos \alpha,0 \leq \frac{ \pi sinx}{4sin \alpha },\frac{ \pi cosx}{4cos \alpha } \leq \frac{ \pi }{2} $

حالا سه حالت ممکن را در نظر بگیرید:

$1)x< \alpha \Rightarrow cosx>cos \alpha \Rightarrow \frac{ \pi cosx}{4cos \alpha }> \frac{ \pi }{4} \Rightarrow tan\frac{ \pi sinx}{4sin \alpha }+tan\frac{ \pi cosx}{4cos \alpha }>0+tan \frac{ \pi }{4}=1$

$2)x= \alpha \Rightarrow tan\frac{ \pi sinx}{4sin \alpha }+tan\frac{ \pi cosx}{4cos \alpha }=tan\frac{ \pi}{4}+tan\frac{ \pi}{4}=1+1=2>1$

$3)x> \alpha \Rightarrow sinx>sin \alpha \Rightarrow \frac{ \pi sinx}{4sin \alpha } > \frac{ \pi }{4} \Rightarrow tan\frac{ \pi sinx}{4sin \alpha }+tan\frac{ \pi cosx}{4cos \alpha }>tan \frac{ \pi }{4}+0=1$

$ \Rightarrow \forall x \in [0, \frac{a}{b} ], \forall \alpha \in [ \frac{a}{b} , \frac{a}{b} ]:tan \frac{ \pi sinx}{4sin \alpha }+tan\frac{ \pi cosx}{4cos \alpha }>1$

$ \Box $