ثابت کنید $ \frac{(R+2r)^ \alpha }{R^ \alpha } < 2 $ وقتی $R\to \infty$

Question

وقتی $\alpha$ مثبت باشد ، $r>0$ و $R$ به سمت بی نهایت میل کند. چگونه نامساوی زیر را توجیه می شود؟ $ \frac{(R+2r)^ \alpha }{R^ \alpha } < 2 $

Answer 1

از آنجا که $\lim_{R\to \infty}\frac{(R+2r)^\alpha}{R^\alpha}=\lim_{R\to\infty}(1+\frac{2r}R)^\alpha=1^\alpha=1$ لذا بنابر تعریف حد با قرار دادن $\epsilon=1$ عدد طبیعی $N$ هست که چنانچه $R\geq N$ خواهیم داشت: $$|\frac{(R+2r)^\alpha}{R^\alpha}-1|< \epsilon=1$$ بنابراین $|\frac{(R+2r)^\alpha}{R^\alpha}|< 1+1=2$ اگر $R$ به اندازه کافی بزرگ در نظر گرفته شود.