Question

مقدار $x$ را طوری بیابید که: $$ \sqrt{ x^{4} - x^{2} + \sqrt{x} } - \sqrt{ x^{4} - x^{2} - \sqrt{x} } =1$$

Answer 1

$ \sqrt{x^4-x^2+ \sqrt{x} } - \sqrt{x^4-x^2- \sqrt{x} } =1 \Rightarrow \sqrt{x^4-x^2+ \sqrt{x} }= \sqrt{x^4-x^2- \sqrt{x}}+1$

$ \Rightarrow (\sqrt{x^4-x^2+ \sqrt{x} })^2= (\sqrt{x^4-x^2- \sqrt{x}}+1)^2 $

$\Rightarrow x^4-x^2+ \sqrt{x} =x^4-x^2- \sqrt{x} +2\sqrt{x^4-x^2- \sqrt{x}}+1$

$ \Rightarrow 2 \sqrt{x} -1=2\sqrt{x^4-x^2- \sqrt{x}}\Rightarrow (2 \sqrt{x} -1)^2=(2\sqrt{x^4-x^2- \sqrt{x}})^2$

$ \Rightarrow 4x-4 \sqrt{x} +1=4x^4-4x^2-4 \sqrt{x} \Rightarrow 4x^4-4x^2-4x-1=0$

$ \Rightarrow 4x^4=4x^2+4x+1 \Rightarrow 4x^4=(2x+1)^2 \Rightarrow 2x^2=|2x+1|$

$\Rightarrow x= \frac{1+ \sqrt{3} }{2} \vee \frac{1- \sqrt{3} }{2} \vee \frac{-1-i}{2} \vee \frac{-1+i}{2}$

بستگی به اینکه $x$ حقیقی است یا مختلط روی جوابهای قابل قبول بحث می شود.

$ \Box $

Answer 2

$$a= \sqrt{ x^{4} - x^{2} + \sqrt{x} } \wedge b= \sqrt{ x^{4} - x^{2} - \sqrt{x} } \Longrightarrow b^{2} = x^{4} - x^{2} + \sqrt{x} \wedge a^{2} = x^{4} - x^{2} - \sqrt{x} \Longrightarrow a-b=1 \wedge a^{2} - b^{2} =2 \sqrt{x} \Longrightarrow a-b=1 \wedge a+b=2 \sqrt{x} \Longrightarrow 2a=1+2 \sqrt{x} \wedge x > 0 \Longrightarrow 4 x^{4} -4 x^{2} +4 \sqrt{x} =1+4 \sqrt{x} +4x \Longrightarrow 4 x^{4} -4 x^{2} -4x-1=0 \Longrightarrow 4 x^{4} -(4 x^{2} +4x+1)=0 \Longrightarrow (2 x^{2} )^{2} - (2x+1)^{2}=0 \Longrightarrow \underbrace {(2 x^{2} +2x+1) > 0} (2 x^{2} -2x-1)=0 \Longrightarrow 2 x^{2} -2x-1=0 \Longrightarrow x= \frac{2 \pm 2 \sqrt{3} }{4} \Longrightarrow x= \frac{1+ \sqrt{3} }{2} $$