Question

مساحت قسمت رنگی را بیابید:

Answer 1

شکل فوق را طوری در دستگاه دکارتی رسم کنید که وسط ضلع پایین مربع در مرکز باشد.طول ضلع مربع را $a$ بگیرید.واضح است که طول مماس مشترک دایره ها $10$ است.معادله دایره سمت راست چنین است:

$(x-5)^2+(y-5)^2=5^2 \Rightarrow x^2+y^2-10x-10y+25=0$

حالا توجه کنید که نقطۀ $( \frac{a}{2} ,a)$ گوشه سمت راست و بالای مربع روی دایرۀ سمت راست است:

$( \frac{a}{2} )^2+a^2-5a-10a+25=0 \Rightarrow a^2+4a^2-60a+100=0 \Rightarrow 5a^2-60a+100=0$

$a^2-12a+20=0 \Rightarrow (a-2)(a-10)=0 \Rightarrow a=2$(چرا؟) $\Rightarrow S=a^2=4$

$ \Box $

Answer 2

Answer 3

طبق سوال شکل رنگی مربع است و دو دایره هم اندازه و مماس اند، اگر از مراکز دو دایره به هم وصل کنیم از نقطه ی تماس دو دایره می‌گذرد که با مماس مشترک خارجی دو دایره و به دنبال آن با ضلعی از مربع که روی مماس مشترک قرار دارد موازی است مراکز دایره ها را مطابق شکل به رئوس مماس بر آنها وصل می‌کنیم تا ذوزنقه ای ایجاد شود، مطابق شکل خطوط عمود اضافه ای رسم می‌کنیم که برای نوشتار کمتر و سهولت مطالعه فقط درشکل نشان داده شده، با استفاده از قضیه فیثاغورس در مثلث OHB داریم:

5² = (5 - x)² + (5 - x /2)²
x = ۱۰ يا x = 2

طبق شکل x = 2 درست است، مساحت شکل رنگی برابر x² یعنی ۴ است.