به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
1,251 بازدید
در دبیرستان توسط math
ویرایش شده توسط fardina

در شکل زیر چهار نقطه روی دایره،دایره را به چهار کمان مساوی تقسیم کرده اند.به مرکز هر یک از این چهار نقطه چهار کمان رسم کرده ایم .مساحت قسمت رنگی حاصل از برخورد چهار کمان را بدست آورید.

enter image description here

توسط Amir Hossein
ویرایش شده توسط Amir Hossein
+1
@math
سلام
عذر میخوام اما سوال شما با سوال من فرق نداره فقط  مربع در سوال من (http://math.irancircle.com/5876/)
به دایره ای تبدیل شده که قطر آندو برابرند و باعث ایجاد 4 هلال شده که در خواسته سوال تغییری ایجاد نمیکنه .
توسط math
+1
سلام
بله حق با شماست ، اما حل این سوال برای من خیلی سخت بود، چون من نمونه همین سوال رو در جای دیگه دیدم که با انتگرال حل کرده بود من دنبال راه دیگه ای برای حل اینطور مسائل بودم.
که fardina عزیز لطف کردن و وقت گذاشتن.
ممنونم

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina

اگر چهار نقطه روی دایره را به هم وصل کنید یک مربع تشکیل می شود:

enter image description here

در اینصورت این سوال شبیه به سوال موجود در اینجا هست: مساحت قسمت رنگی( شکل از برخورد 4 ربع دایره حاصل شده است) چقدر است ؟


درحالت کلی فرض کنید طول ضلع مربع $a$ باشد.

در اینصورت با توجه به شکل زیر

مساحت مثلثی که با رنگ صورتی نشان داده شده است برابر است با $$S_1=\frac{\sqrt{3}}4a^2$$ (چون یک مثلث متساوی الاضلاع به ضلع $a$ است)

circle

چون $S_2$ کمان روبروی به زاویه ی $60^\circ$ است لذا مساحت آن برابر است با $$S_2=\frac{\pi a^2}{6}-S_1=\frac{\pi a^2}{6}-\frac{\sqrt 3}4a^2$$

همچنین $S_2+S_3$ برابر با مساحت قطاعی از دایره است که با زاویه $30^\circ$ جدا شده است پس $$S_2+S_3=\frac{\pi a^2}{12}$$ بنابراین $$S_3=\frac{\pi a^2}{12}-S_2=\frac{\pi a^2}{12}-\frac{\pi a^2}{6}+\frac{\sqrt 3}4a^2$$

بنابر تقارن موجود مساحت قسمت رنگی که مد نظر شما هست برابر است با مساحت مربع منهای چهار تا مساحت $S_3$

circle2

بنابراین

$$S=S_{square}-4S_3=a^2-4(\frac{\pi a^2}{12}-\frac{\pi a^2}{6}+\frac{\sqrt 3}4a^2)$$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...