به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+6 امتیاز
39,674 بازدید
در دبیرستان توسط Amir Hossein (541 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

مربعی با یال ۱۰ سانتی‌متر داده‌شده‌است. از هر گوشهٔ آن یک ربعِ دایره درون مربع کشیده‌ایم. مساحت اشتراک این چهار ربعِ دایره که با رنگ زرد پر شده‌است چند سانتی‌متر مربع است؟

توضیحات تصویر

2 پاسخ

+6 امتیاز
توسط erfanm (13,407 امتیاز)
انتخاب شده توسط Amir Hossein
 
بهترین پاسخ

برای بدست آوردن مساحت مراحل زیر را انجام می دهیم:

enter image description here

از نقطه ی $ E $ به نقاط $ C $ و $ D $ وصل میکنیم تا مثلث متساوی الاضلاع به مساحت $ \frac{100 \sqrt{3} }{4} $ بدست آید.

enter image description here

ناحیه ی رنگی در شکل بالا قطاعی از دایره به زاویه ی 60 است که مساحت آن برابر است با $ \frac{100 \pi}{6} $

با منها کردن مساحت های بدست آمده مساحت ناحیه ی رنگی زیر بدست می آید که برابر است با $ \frac{100 \pi}{6} - \frac{100 \sqrt{3} }{4}$

enter image description here

با دو برابر کردن آن و جمع با مساحت مثلث مساحت ناحیه ی زیر بدست می آید. $ \frac{100 \pi}{3} - \frac{100 \sqrt{3} }{2}+ \frac{100 \sqrt{3} }{4}= \frac{100 \pi}{3} - \frac{100 \sqrt{3} }{4}$

enter image description here

حال اگر ربع دایره با کمان $AEC$ را در نظر بگیریم مساحت آن برابر است با $\frac{100 \pi}{4}$ و اگر از آن ناحیه ی رنگی بالا را کم کنیم مساحت ناحیه ی رنگی

enter image description here

بدست می آید که برابر است با:

$\frac{100 \pi}{4}- \frac{100 \pi}{3} + \frac{100 \sqrt{3} }{4}=\frac{100 \pi}{12}+ \frac{100 \sqrt{3} }{4}$

حال اگر دقت کنیم ناحیه خواسته شده برابر متمم 4 برابر ناحیه ی بالا است چون:

enter image description here

+4 امتیاز
توسط fardina (16,519 امتیاز)
نمایش از نو توسط fardina

درحالت کلی فرض کنید طول ضلع مربع $a$ باشد.

در اینصورت با توجه به شکل زیر

مساحت مثلثی که با رنگ صورتی نشان داده شده است برابر است با $$S_1=\frac{\sqrt{3}}4a^2$$ (چون یک مثلث متساوی الاضلاع به ضلع $a$ است)

circle

چون $S_2$ کمان روبروی به زاویه ی $60^\circ$ است لذا مساحت آن برابر است با $$S_2=\frac{\pi a^2}{6}-S_1=\frac{\pi a^2}{6}-\frac{\sqrt 3}4a^2$$

همچنین $S_2+S_3$ برابر با مساحت قطاعی از دایره است که با زاویه $30^\circ$ جدا شده است پس $$S_2+S_3=\frac{\pi a^2}{12}$$ بنابراین $$S_3=\frac{\pi a^2}{12}-S_2=\frac{\pi a^2}{12}-\frac{\pi a^2}{6}+\frac{\sqrt 3}4a^2$$

بنابر تقارن موجود مساحت قسمت رنگی که مد نظر شما هست برابر است با مساحت مربع منهای چهار تا مساحت $S_3$

circle2

بنابراین

$$S=S_{square}-4S_3=a^2-4(\frac{\pi a^2}{12}-\frac{\pi a^2}{6}+\frac{\sqrt 3}4a^2)$$

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...