به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
7,360 بازدید
در دبیرستان توسط قربان (11 امتیاز)
دوباره دسته بندی کردن توسط AmirHosein

در شکل زیر اندازهٔ هر یال مربع برابر است با $a$، مساحت بخشِ زردرنگ را بدست آورید. کمان‌های کشیده‌شده در داخل مربع، نیم‌دایره و یک‌چهامِ دایره هستند.

توضیحات تصویر

توسط alitk (313 امتیاز)
راهنمایی حل:
مساحت مربع را از مساحت ربع دایره کم کنید و Sa مینامیم.
حال مساحت نیم دایره سمت چپ (کناری) را منهای Sa و نیم دایره دیگر میکنیم.
توسط قربان (11 امتیاز)
مساحت نیم دایره سمت چپ منهای مساحت نیم دایره پایین صفر میشه که
توسط man258 (189 امتیاز)
+1
اگر معادله های دایره ها رو در صفحه دکارتی پیدا کنید  
احتمالا با انتگرال هم میتوانید پاسخ رو پیدا کنید

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط salar (754 امتیاز)
ویرایش شده توسط salar

enter image description here

برای ساده بودن محاسبات فرض کنیم ضلع مربع برابر $2$ است و در آخر جواب را در $\frac{a}{4}$ ضرب میکنیم تا برحسب $a$ بدست آید

ابتدا دو وتر مشترک را رسم کرده و مرکز دایره ها را بهم وصل میکنیم

شعاع دایره های کوچک برابر $1$ و دایره بزرگ برابر $2$ میباشد

مساحت قسمت مشترک دو دایره کوچک:

$$S_{AG}=2(\pi AF^2 \frac{90}{360}-\frac{1}{2}AF^2) \approx 0.6$$ $$sin(AFB)=\frac{2}{ \sqrt{5}} \Rightarrow \\Arcsin(\frac{2\sqrt{5}}{5}) \approx 63.4 \\ \Rightarrow \hat{AFH}=126.8 $$ $$sin(ABF)=\frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow \\Arcsin(\frac{\sqrt{5}}{5}) \approx 26.6 \\ \Rightarrow \hat{ABH} =53.2$$

محاسبه مساحت قطعه بین $AH$ و کمان دایره بزرگ:

$$S_{1}=(\pi AB^2 \times \frac{53.2}{360})- (\frac{1}{2} AB^2 sin(ABH)) \approx 0.3$$

محاسبه مساحت قطعه بین $AH$ و کمان دایره کوچک:

$$S_{2}=(\pi AF^2 \times \frac{126.8}{360})- (\frac{1}{2} AF^2 sin(AFH) \approx 0.7$$

حال از جمع این دو مساحت مشترک بین دایره بزرگ و کوچک روی وتر $AH$ بدست می آید:

$$S_{AH}=S_{1}+S_{2}=0.3+0.7=1$$ $$S_{AH}-S_{AG}=1-0.6=0.4$$

اگر ضلع مربع $2$ باشد مساحت قسمت رنگی برابر $0.4$ میباشد

واگر ضلع مربع $a$ باشد مساحت قسمت رنگی برابر $0.1 \times a$ میشود.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...