سلام
نقاط تقاطع کمان ربع دایره را از بالا به پایین بنام های E و D و H نامگذاری می کنیم
نقاط تقاطع شعاع عمودی ربع دایره ر از بالا به پایین Eو C و A می نامیم
و نقاط تقاطع شعاع افقی ربع دایره را از چپ به راست بترتیب A و B و M می نامیم
مرکز نیم دایره را O می نامیم و
$AE = a , DO= r$
از O به C و B وصل می کنیم و می دانیم که عمود هستند زیرا AE و AM مماس بر نیم دایره اند...
از A به D و O وصل می کنیم
می دانیم که
$OB=OC=OD=r$
در مثلث OCA داریم :
$OC^2 + AC^2 = AD^2 \Longrightarrow OA = r \sqrt{2} $
در مثلث ODA داریم :
$OD^2 + OA^2 = AD^2 \Longrightarrow AD=AE=r \sqrt{3} $
در نتیجه داریم :
$\frac{ S_{نیم دایره}}{ S_{ربع دایره } } = \frac{ \frac{1}{2} × \pi × r^2}{\frac{1}{4} × \pi × a^2} = 2 × \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $
