نسبت مساحت نیم دایره محاط شده به ربع دایره

Question

سلام جزئیات سوال همراه با شکل به صورت عکس ارسال می شود. تمامی نکات در صورت سوال مطرح شده است.

Comments

@javadnikkhah متن پرسش باید تایپ شود و تنها قسمت شکلی آن به صورت تصویر قرار داده شود. پرسش‌تان را ویرایش کنید.

Answer 1

سلام

نقاط تقاطع کمان ربع دایره را از بالا به پایین بنام های E و D و H نامگذاری می کنیم

نقاط تقاطع شعاع عمودی ربع دایره ر از بالا به پایین Eو C و ‌A می نامیم

و نقاط تقاطع شعاع افقی ربع دایره را از چپ به راست بترتیب A و B و M می نامیم

مرکز نیم دایره را O می نامیم و

$AE = a , DO= r$

از O به C و B وصل می کنیم و می دانیم که عمود هستند زیرا AE و AM مماس بر نیم دایره اند...

از A به D و O وصل می کنیم

می دانیم که

$OB=OC=OD=r$

در مثلث OCA داریم :

$OC^2 + AC^2 = AD^2 \Longrightarrow OA = r \sqrt{2} $

در مثلث ODA داریم :

$OD^2 + OA^2 = AD^2 \Longrightarrow AD=AE=r \sqrt{3} $

در نتیجه داریم :

$\frac{ S_{نیم دایره}}{ S_{ربع دایره } } = \frac{ \frac{1}{2} × \pi × r^2}{\frac{1}{4} × \pi × a^2} = 2 × \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $