اگر چهار نقطه روی دایره را به هم وصل کنید یک مربع تشکیل می شود:
در اینصورت این سوال شبیه به سوال موجود در اینجا هست: مساحت قسمت رنگی( شکل از برخورد 4 ربع دایره حاصل شده است) چقدر است ؟
درحالت کلی فرض کنید طول ضلع مربع $a$ باشد.
در اینصورت با توجه به شکل زیر
مساحت مثلثی که با رنگ صورتی نشان داده شده است برابر است با $$S_1=\frac{\sqrt{3}}4a^2$$ (چون یک مثلث متساوی الاضلاع به ضلع $a$ است)
چون $S_2$ کمان روبروی به زاویه ی $60^\circ$ است لذا مساحت آن برابر است با $$S_2=\frac{\pi a^2}{6}-S_1=\frac{\pi a^2}{6}-\frac{\sqrt 3}4a^2$$
همچنین $S_2+S_3$ برابر با مساحت قطاعی از دایره است که با زاویه $30^\circ$ جدا شده است پس
$$S_2+S_3=\frac{\pi a^2}{12}$$ بنابراین
$$S_3=\frac{\pi a^2}{12}-S_2=\frac{\pi a^2}{12}-\frac{\pi a^2}{6}+\frac{\sqrt 3}4a^2$$
بنابر تقارن موجود مساحت قسمت رنگی که مد نظر شما هست برابر است با مساحت مربع منهای چهار تا مساحت $S_3$
بنابراین
$$S=S_{square}-4S_3=a^2-4(\frac{\pi a^2}{12}-\frac{\pi a^2}{6}+\frac{\sqrt 3}4a^2)$$
