فرض کنید که:
$f:B \longrightarrow C,g:A \longrightarrow B$
چون $f$ و $g$ وارون دارند لذا یک بیک و پوشا اند و:
$fog:A \longrightarrow C$
هم یک بیک و پوشا است (لذا وارون دارد) زیرا:
$if:a_1,a_2 \in A,(fog)(a_1)=(fog)(a_2) \Rightarrow f(g(a_1))=f(g(a_2))$
$\Rightarrow g(a_1)=g(a_2)$(چون $f$ یکبیک است)$ \Rightarrow a_a=a_2$(چون $g$ یک بیک است)
$, \forall c \in C: \exists b \in B c=f(b)$(چون $f$ پوشاست)$, \exists a \in A :b=g(a)$(چون $g$ پوشاست)
$ \Rightarrow c=f(b)=f(g(a))=(fog)(a) \Rightarrow $($fog$ پوشاست)
حالا از خاصیت شرکت پذیری ترکیب توابع و اینکه تابع همانی عضو خنثا است ، توجه کنید که:
$(fog)o(g^{-1}of^{-1})=fo(gog^{-1})of^{-1}=(foI_B)of^{-1}=fof^{-1}=I_C$
$,(g^{-1}of^{-1})o(fog)=g^{-1}o(f^{-1}of)og=g^{-1}oI_Bog=(g^{-1}oI_B)og=g^{-1}og=I_A$
از طرفی دیگر چون وارون یک تابع منحصر بفر است لذا:
$(fog)^{-1}=g^{-1}of^{-1}$
$ \Box $
