کران پائین چند جمله ایها

Question

فرض کنید $(a_n)_{n=0}^ \infty $ یک دنباله نامتناهی از اعداد حقیقی باشد بطوریکه $a_0>1$ و برای هر $n>0$ ،$0 \leq a_n<1$.نشان دهید اگر $|x| \leq \frac{1}{2} $ آنگاه برای هر عدد طبیعی $m$ داریم:

$| \sum _{n=0}^ma_nx^n|>1-2|x|$

برای قسمت مثبت بازه واضح است اما برای قسمت منفی بازه چیزی به ذهنم نرسید.

Answer 1

بعد از مدتی راه حلی به ذهنم رسید.و چون به نظرم سوال جالبی بود جواب را برای کاربران می ذارم امیدوارم که مفید واقع شود:

$if:x_1,x_2,...x_n \in R \Rightarrow |x_1|=|x_1+(x_2+...+x_n)-(x_2+...+x_n)|$

$ \leq |x_1+x_2+...+x_n|+|x_2+...+x_n| \Rightarrow |x_1+x_2+...+x_n| \geq |x_1-|x_2+...+x_n|$

حالا در اینجا داریم:

$$|\sum _{n=1}^ma_nx^n| \leq \sum _{n=1}^ma_n|x|^n \leq \sum _{n=1}^m|x|^n \leq \sum _{n=1}^ \infty |x|^n= \frac{|x|}{1-|x|}$$

از طرفی دیگر:

$|x| \leq \frac{1}{2}\Rightarrow -|x| \geq -\frac{1}{2} \Rightarrow 1-|x| \geq 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}>0 \Rightarrow \frac{1}{1-|x|}<2 \Rightarrow -\frac{|x|}{1-|x|}>-2|x|$

$$ \Rightarrow |\sum _{n=0}^ma_nx^n| \geq |a_0|-|\sum _{n=1}^ m a_nx^n| >1- \frac{|x|}{1-|x|}>1-2|x| $$

$ \Box $