فرض کنید خط d داده شده است، با نقاط A و B روی آن، و نقطه O خارج از آن. داده شده است که OA تا C امتداد یافته به طوری که OA = AC، و OB تا D امتداد یافته به طوری که OB = BD. عمودهای MC و ND از C و D به خط d رسم شدهاند. ما باید نسبت MC/ND را پیدا کنیم.
بردارهای موقعیت نقاط را نسبت به یک مبدأ دلخواه در نظر بگیرید. فرض کنید بردارهای موقعیت A، B و O به ترتیب $\vec{a}, \vec{b}, \vec{o}$ باشند.
از آنجا که OA = AC، نقطه A وسط پارهخط OC است. بنابراین، $\vec{a} = \frac{\vec{o} + \vec{c}}{2}$، که به ما میدهد $\vec{c} = 2\vec{a} - \vec{o}$.
از آنجا که OB = BD، نقطه B وسط پارهخط OD است. بنابراین، $\vec{b} = \frac{\vec{o} + \vec{d}}{2}$، که به ما میدهد $\vec{d} = 2\vec{b} - \vec{o}$.
فاصله یک نقطه $(x_0, y_0)$ از خط $Ax + By + C = 0$ برابر است با $\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$. فاصله علامتدار برابر است با $\frac{Ax_0 + By_0 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.
فرض کنید معادله خط d به صورت $ax + by + c = 0$ باشد. فاصله علامتدار یک نقطه P با بردار موقعیت $\vec{p}$ از خط d برابر است با $s(P) = k(a x_p + b y_p + c)$، که در آن $k = \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
MC فاصله نقطه C از خط d است، بنابراین MC = $|s(C)|$.
ND فاصله نقطه D از خط d است، بنابراین ND = $|s(D)|$.
$s(C) = k(a x_c + b y_c + c)$
$s(D) = k(a x_d + b y_d + c)$
تابع فاصله علامتدار را در قالب برداری در نظر بگیرید. فرض کنید معادله خط d به صورت $\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = p$ باشد، که در آن $\mathbf{n}$ بردار نرمال واحد است. فاصله علامتدار یک نقطه با بردار موقعیت $\vec{r}_0$ برابر است با $\vec{r}_0 \cdot \mathbf{n} - p$.
$s(C) = \vec{c} \cdot \mathbf{n} - p = (2\vec{a} - \vec{o}) \cdot \mathbf{n} - p = 2(\vec{a} \cdot \mathbf{n}) - \vec{o} \cdot \mathbf{n} - p$
$s(D) = \vec{d} \cdot \mathbf{n} - p = (2\vec{b} - \vec{o}) \cdot \mathbf{n} - p = 2(\vec{b} \cdot \mathbf{n}) - \vec{o} \cdot \mathbf{n} - p$
از آنجا که A و B روی خط d قرار دارند، فاصلههای علامتدار آنها 0 است.
$s(A) = \vec{a} \cdot \mathbf{n} - p = 0 \implies \vec{a} \cdot \mathbf{n} = p$
$s(B) = \vec{b} \cdot \mathbf{n} - p = 0 \implies \vec{b} \cdot \mathbf{n} = p$
این مقادیر را در عبارات $s(C)$ و $s(D)$ جایگذاری کنید:
$s(C) = 2p - \vec{o} \cdot \mathbf{n} - p = p - \vec{o} \cdot \mathbf{n}$
$s(D) = 2p - \vec{o} \cdot \mathbf{n} - p = p - \vec{o} \cdot \mathbf{n}$
MC = $|s(C)| = |p - \vec{o} \cdot \mathbf{n}|$
ND = $|s(D)| = |p - \vec{o} \cdot \mathbf{n}|$
نسبت MC/ND = $\frac{|p - \vec{o} \cdot \mathbf{n}|}{|p - \vec{o} \cdot \mathbf{n}|} = 1$.
