Question

شعاع دایره ای که از دو نقطه $ A(1,2) $ و $B(3,0)$ میگذرد و یکی از قطرهای آن روی خط $y=2x-1 $ قرار دارد را بیابید؟

Answer 1

چون مرکز دایره روی قطر قرار دارد قطر روی خط $y=2x-1$ پس مختصات مرکز به صورت $O=(a,2a-1)$ است.حالا چون نقاط $A$ و $B$ روی محیط دایره‌اند پس:

$$ \overline{OA} = \overline{OB} $$

$$ \Rightarrow \overline{OA}^2 = \overline{OB}^2$$

$$ \Rightarrow (a-1)^2+(2a-1-2)^2=(a-3)^2+(2a-1-0)^2$$

$$ \Rightarrow a=0 \Rightarrow O=(0,-1)$$

$$ \Rightarrow R= \overline{OA}= \sqrt{1^2+3^2}= \sqrt{10} $$

$ \Box $

Answer 2

بنام خدا.عمودمنصف پاره خطAB از مرکز دایره میگذرد بنابراین معادله خطی که بروسط خط AB عمود بدست می آوریم وبا خط y=2x-1 قطع میدهیم تا مرکز دایره بدست آید $$ \begin{cases}y=2x-1 & \\y=x-1\end{cases} $$ اکراین دستگاه راحل کنیم مرکز دایره به مختصات $$O= \binom{0}{-1} $$ بدست می آیدحالا فاصله نقطه O راتاA یاB بدست می آوریم $$(0-1)^2+(-1-2)^2=10$$ که این مجذورشعاع است بنابراین شعاع برابر$ \sqrt{10} $ خواهد بود.