سهمی که از نقاط $ (-1,0) $ ، $ (1,2) $ و $ (2,9) $ میگذرد، از کدام نقطهی دیگر عبور میکند؟

Question

سهمی‌ای که از نقاط $ (-1,0) $ ، $ (1,2) $ و $ (2,9) $ می‌گذرد، از کدام نقطه‌ی دیگر عبور می‌کند؟

1. $ (3,-3) $
2. $ (-3,3) $
3. $ (0,1) $
4. $ (-2,5) $

---

خب می‌دونیم روش کلاسیک حل این سوال استفاده از جاگذاری مقادیر طول و عرض نقاط داده شده در عبارت $ ax^{2}+bx+c $ و به دست آوردن مقدار ضرایب ثابت سهمی و در ادامه جاگذاری گزینه هاست اما می‌خوام بدونم روش سریع‌تر و خلاقانه تری هم برای حل اینگونه سوالات وجود دارد یا خیر؟

Answer 1

سه نقطهٔ داده‌شده:
$(-1,0)$
$(1,2)$
$(2,9)$

برای سهمیِ استاندارد
$y=ax^2+bx+c$
دست‌کم سه معادله می‌نویسیم:

$ a(-1)^2+b(-1)+c=0$
$ a(1)^2+b(1)+c=2$
$ a(2)^2+b(2)+c=9$

ساده‌سازی روابط:

$ a-b+c=0$
$ a+b+c=2$
$ 4a+2b+c=9$

از دو سطرِ اول:

$2b=2\;\;\Longrightarrow\;\; b=1$

جای‌گذاری در رابطهٔ اول:

$ a+c=1$

جای‌گذاری در سطرِ سوم:

$ 4a+2+c=9$

$ 4a+c=7$

کسر کردن دو رابطهٔ اخیر:

$ 3a=6\;\;\Longrightarrow\;\; a=2$

سپس:

$ c=1-a=-1$

پس معادلهٔ سهمی:
$ y=2x^2+x-1$

اکنون هر گزینه را امتحان می‌کنیم:

$(3,-3)\;\;\Longrightarrow\;\; y=20\neq-3$
$(-3,3)\;\;\Longrightarrow\;\; y=14\neq3$
$(0,1)\;\;\Longrightarrow\;\; y=-1\neq1$
$(-2,5)\;\;\Longrightarrow\;\; y=5=\;5$

گزینهٔ درست:
$(-2,5)$

(راهِ سریع‌تر: با جدولِ تفاضل‌های درجه‌دو می‌توان فوراً $a=2$ را دید، سپس $b$ و $c$ را مثل بالا یافت.)

Comments

گویا طرف راه حل دیگری خواسته بود!!!